非退化臨界點

非退化臨界點

非退化臨界點(nondegenerate critical point)是指在該點處的二階導運算元有有界逆的臨界點。設X是希爾伯特空間,f∈C(X,R),x0是f的臨界點.若f″(x0):X→X有有界逆,則稱x0是f的非退化臨界點,否則,稱臨界點x0是退化的。設M是C希爾伯特流形,f∈C(M,R),x0是f的臨界點,取x0處的局部坐標系(U,φ),若φ(x0)是泛函f°φ的非退化臨界點,則稱x0是f的非退化臨界點,否則稱f的臨界點x0是退化的。M上泛函f的臨界點的非退化性不依賴於局部坐標系的選取,非退化臨界點必是孤立臨界點。

基本介紹

  • 中文名:非退化臨界點
  • 外文名:nondegenerate critical point
  • 所屬學科:數學
  • 相關概念:臨界點,莫爾斯引理等
  • 定義:在該點處的二階導運算元有有界逆的臨界點
基本介紹,定義,例題解析,相關定理及概念,Morse引理,梯度場,

基本介紹

定義

流形
類函式。點
稱為函式
的臨界點,如果在局部坐標
下,等式
成立。數
稱為函式
臨界值,流形
上所有其餘的點將稱為函式
非臨界點,所有不是函式
臨界值的數稱為這個函式的非臨界值
臨界點稱為孤立的,如果可找到它的這種鄰域,在其中沒有其它的臨界點。臨界點稱為非退化的,如果二階偏導數的矩陣
是非退化的;反之,臨界點稱為退化的
考慮二次型
,其中
,它稱為函式
在點p處的Hessian二次型。因矩陣A是對稱的,二次型
可通過適當地選取坐標
,化為正則形式
如果A非退化,則
稱為函式
在點
的指標,而數
稱為函式
在點p的退化度

例題解析

由公式
給定一個
上的函式,顯然,偏導數
它們僅在
點同時為零。因此點
是孤立臨界點,所有的二階偏導數
處也都為零,因此函式
在點
處的二階偏導數的矩陣是零矩陣,而函式
在點
的Hessian二次型恆等於零,這表明,臨界點
是退化的,在點
處,
的退化度為2,指標為0。

相關定理及概念

Morse引理

臨界點理論中的一個重要事實是:在臨界點的附近函式可表示為二次型的形狀,且函式的性態由它的指標來描述。
定理1(Morse引理)
是函式
的非退化臨界點,則在點
的某鄰域U中存在這樣的局部坐標系
,使得
,並且在U上成立以下恆等式
其中
是點
的坐標,而
是函式
在點p的指標。

梯度場

上的Riemann度量,對每一點
,選一個向量
,使得以下條件成立:對任意的向量
,成立等式
其中
是函式
在點
的微分在向量
處的值。所得的場
稱為函式
的梯度場,記作

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