胡列維茨定理

在數學中，胡列維茨定理是代數拓撲的一個基本結論。定理通過“胡列維茨同態”將同倫論與同調論聯繫起來，是龐加萊此前部分結論的推廣。胡列維茨定理以維托爾德·胡列維茨命名。

基本介紹

• 中文名：胡列維茨定理
• 外文名：Hurewicz theorem

簡介

在數學中，胡列維茨定理是代數拓撲的一個基本結論。定理通過“胡列維茨同態”將同倫論與同調論聯繫起來，是龐加萊此前部分結論的推廣。胡列維茨定理以維托爾德·胡列維茨命名。

胡列維茨定理是連線同倫群和同調群的關鍵一環。

陳述

對於任意空間X和任意正整數k，都存在群同態（構造見本小節末尾）

稱為從k階同倫群到k階（整係數）同調群的胡列維茨同態。

當k=1且X道路連通時，胡列維茨同態等價於標準的阿貝爾化映射

胡列維茨定理聲明，若X是(n-1)連通的帶基點的空間，那么對於所有，胡列維茨同態都是群同構（當）或阿貝爾化（當n=1）。

特別地，定理說明第一同倫群（即基本群）的阿貝爾化同構於第一同倫群：

因此，如果X道路連通且是完美群，那么X的第一同調群為零。

此外，當X是(n-1)-連通時（），胡列維茨同態都是滿同態（滿射）。

胡列維茨同態由如下方式給定：設為標準生成元，那么胡列維茨映射將同倫類映射到。

同調論

數學中，同調論（homology theory）是拓撲空間“圈的同調”之直覺幾何想法的公理化研究。它可以寬泛地定義為研究拓撲空間的同調理論。

同倫

同倫（英語：homotopic，源自希臘語：ὁμός homós，意為“相同，相似的”與希臘語：τόπος tópos，意為“方位”）。在數學中，同倫的概念在拓撲上描述了兩個對象間的“連續變化”。 在拓撲學中，兩個定義在拓撲空間之間的連續函式，如果其中一個能“連續地形變”為另一個，則這兩個函式稱為同倫的。這樣的形變稱為兩個函式之間的同倫。同倫的一個重要的套用是同倫群和上同倫群的定義，它們是代數拓撲中重要的不變數。

事實上，在特定的空間中套用同倫還有一些技術上的困難。代數拓撲學家一般使用緊生成空間、CW復形或譜。