結合代數的表示與導出範疇

《結合代數的表示與導出範疇》是依託首都師範大學，由惠昌常擔任項目負責人的重點項目。

基本介紹

• 中文名：結合代數的表示與導出範疇
• 項目類別：重點項目
• 項目負責人：惠昌常
• 依託單位：首都師範大學

項目摘要

結合代數的表示理論是數學研究中一個十分活躍的領域，它與數學、物理領域的許多分支相互滲透，具有廣泛而深刻的套用。Grothendieck和Verdier在代數幾何中引入的導出範疇(三角範疇)，通過Happel、Rickard、Keller等著名數學家開創性的工作，現已成為當今代數幾何和代數表示論等研究領域中不可缺少的關鍵方法之一。本項目將利用導出範疇、同調代數等一系列工具，並借鑑組合與幾何方法，對無限傾斜模理論、代數的導出等價和Morita型穩定等價、量子齊次空間等熱點、前沿問題展開深層次的系統性研究，並將代數表示論的方法套用於高階代數K-理論和量子群等核心數學問題的討論。這些問題的研究對代數表示論、代數K-理論、量子群和相關學科的深入發展有十分重要的意義。

結題摘要

代數的表示理論是數學研究中一個十分活躍的領域，與數學、物理領域的許多分支相互滲透，有廣泛而深刻的套用。本項目在結合代數的無限維傾斜模、導出模範疇的粘合、量子代數和Hopf-代數、導出和穩定等價等方面開展深入地研究，取得了重要進展：引入正合系概念，提出任意環上代數的非交換張量積的定義方法；將Morita-型穩定等價提升為導出等價的問題歸結為自入射代數上的提升問題；引入相對正合序列，提出由投射維數不超過1的傾斜模構造非平凡導出等價的一種新方法；建立了粘合中三個代數的（big，little）有限維數、整體維數之間的關係；證明Morita型穩定等價一般說來不保持代數的張量積和平凡擴張；建立了多項式Poisson代數的Poisson同調與上同調之間的扭Poincare對偶, 證明了Noether多項式Hopf代數的余Poisson結構，非abelian有限維李代數的包絡代數上沒有平凡的Poisson Hopf 結構；完整地刻畫了多項式Hopf代數（有限維abelian李代數的包絡代數）上的co-Poisson余代數結構和co-Poisson Hopf代數結構；建立了它們與Poisson代數結構和Poisson Hopf 代數結構的一些對應關係；證明了仿射 Schur 代數是仿射擬遺傳的，從而解決了 Kleshchev 提出的一個問題；定義generic Bridgeland-Hall代數，證明了它包含一個子代數，同構與量子包絡代數的相應的一個整形；在Domestic型加權射影線上的凝聚層範疇中引入了分解序列的概念，證明對於任意三個分解序列存在Hall 多項式。這不僅推廣了 Hubery的一個結果，而且解決了Berenstein 和Greenstein 的一個猜想；對pointed Hopf代數進行了分類，得到了小階數p-群上存在有限維Nichols代數的一個刻劃；在群代數上實現了Hochschild上同調代數的可加分解，並給出了計算該類代數的BV-代數結構的公式。這些成果對代數表示論、量子代數和相關學科的深入發展有十分重要的意義。