《羅巴代數的表示和羅巴代數在operad中的套用》是依託西南大學，由裴俊擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：羅巴代數的表示和羅巴代數在operad中的套用
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：裴俊
- 依託單位：西南大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
羅巴(Rota-Baxter)運算元是積分運算元的代數抽象和推廣，是分析問題代數化研究的一個重要組成部分。它的研究始於G.Baxter 對Spitzer等式的研究。 羅巴代數與代數組合、交換代數、 Hopf代數、代數operad理論、數論、Yang-Baxter方程、量子場論（QFT）等都有著很多非常重要的聯繫。其深入套用到數學以及理論物理中的很多分支。. 羅巴代數表示論以及羅巴代數在operad中的套用是羅巴代數研究的重要內容。本課題首先研究一些特殊代數的羅巴結構進一步考慮其上的模的性質和分類並詳細研究羅巴結合代數與羅巴李代數之間的關係，進一步用於Yang-Baxter方程的研究。其次研究與羅巴運算元作用對偶的平均運算元作用以及與元分裂相關的operad等式。
結題摘要
羅巴代數理論是代數學的一個新興分支.1960年,美國數學家G.Baxter在尋求Spitzer等式代數證明的過程中定義了羅巴運算元.帶有羅巴運算元的代數稱為羅巴代數.另一方面,在1960年至1972年間,P. Cartier, G.C. Rota及其合作者們著手去發展一套關於積分的代數和組合結構的一般性理論.事實上,羅巴運算元可視為積分運算元的抽象和推廣. 20世紀80年代,李代數中的羅巴運算元又作為經典Yang-Baxter方程解的運算元形式被數學物理學家獨立發現.本世紀以來,羅巴代數的發展突飛猛進,不僅它的基礎理論得到系統發展, 而且在量子場論、可積系統、數論、Hopf 代數、operad以及代數組合等方面有著重要的套用.在近二十年里,郭鋰是羅巴代數理論發展的主要貢獻者,他撰寫了羅巴代數領域的第一本教材. 本項目主要研究了羅巴運算元在operad構造中的套用以及羅巴代數的表示理論.在operad方面,我們定義了任意operad上的分裂和複製構造,一方面將原來的二分裂與三分裂統一起來;另一方面將很多看似無關的代數聯繫到一起並給出了構造的一般法則.此外, 我們定義了任意代數上的羅巴運算元並證明它的作用能誘導出operad上的分裂;定義了兩類平均運算元並證明它們的作用能誘導出operad上的複製.在二元二次operad上證明了P 的複製的Koszul對偶同構於P的Koszul對偶的分裂.最後將operad的分裂與代數表示聯繫起來. 對於羅巴代數表示, 我們首先具體研究了羅巴多項式代數的不可約表示、直和分解以及不可分解多項式表示的羅巴模結構和等價分類; 其次, 從一般的羅巴代數出發將羅巴代數的表示轉化為其對應的羅巴運算元環的表示.進一步討論了羅巴模範疇中的各類導出函子,給出若干羅巴表示與普通代數表示的不同之處.另外,還給出了自由Nijenhuis代數的Hopf結構.
