基本介紹
概述,歷史,組合學的方法和子領域,枚舉組合,分析組合,分區理論,圖論,設計理論,有限幾何,秩序理論,陣營理論,極值組合,機率組合,代數組合,幾何組合,拓撲組合,算術組合,相關領域,組合最佳化,編碼理論,離散和計算幾何,組合和動力系統,組合和物理學,
概述
組合論的對象是具有組合性質的集合，以其個數的計算為主要目標。要對組合性質給予明確的定義是困難的。簡單的代數系，例如序集、格、半群等的最原始的個數計算都可以看作組合論的內容，近代統計學的套用的各種布局問題、電子計算機的程式設計的組合論方面，最近也被注意，此外，機率論、分子結構、工程學等方面產生的組合問題也歸入了組合論。
歷史
基本的組合概念和枚舉結果出現在整個古代世界。在公元前6世紀，古印度醫生Sushruta在Sushruta Samhita中斷言，可以從6種不同的口味中選擇63種組合，一次一個，兩次一次地進行，從而計算出全部2- 1個可能性。希臘歷史學家普魯塔克（Plutarch）討論了Chrysippus（公元前3世紀）和Hipparchus（公元前2世紀）之間的一個相當微妙的枚舉問題，後來證明它與Schröder-Hipparchus數量有關。在Ostomachion，阿基米德（公元前3世紀）認為拼貼拼圖。
在中世紀，組合學繼續被研究，主要在歐洲文明之外。在印度數學家大雄（約850），用於數量提供式排列和組合，和這些公式可能早在第六世紀CE一直熟悉印度數學家。所述的哲學家和天文學家拉比亞伯拉罕伊本斯拉（約1140）建立的對稱性二項式係數，而由後得到的封閉式的Talmudist和數學家Levi Ben Gerson（更為人所知的是Gersonides），在1321年。數學家在可追溯到10世紀的論文中提出了算術三角形 - 一個顯示二項式係數之間關係的圖表，並最終將成為帕斯卡的三角。後來，在中世紀的英格蘭，坎帕尼學提供了一些現在稱為哈密爾頓循環的例子，這些哈密爾頓循環在某些Cayley圖上是排列的。
在文藝復興時期，與其他數學和科學一起，組合學享受重生。作品帕斯卡，牛頓，雅各布·伯努利和歐拉成為新興領域基礎。在現代，JJ Sylvester（19世紀末）和Percy MacMahon（20世紀初）的作品為枚舉和代數組合奠定了基礎。圖論也同時引起了人們的興趣，特別是在四色問題上。
20世紀下半葉，組合學得到了飛速發展，形成了數十種新的學術期刊和會議。部分原因是由於從代數到機率，從功能分析到數論等其他領域的新的聯繫和套用，這種聯繫被激發出來。這些聯繫脫離了數學和理論計算機科學之間的組合界限，但同時也導致了該領域的局部分裂。
組合學的方法和子領域
枚舉組合
分析組合
分析組合學涉及使用來自複雜分析和機率理論的工具列舉組合結構。與使用顯式組合公式和生成函式來描述結果的枚舉組合方法相比，分析組合方法旨在獲得漸近公式。
分區理論
分區理論研究了與整數分區有關的各種枚舉和漸近問題，與q序列，特殊函式和正交多項式密切相關。原來是數論和分析的一部分，它現在被認為是組合學或獨立領域的一部分。它在分析和解析數論中結合了雙射線方法和各種工具，並與統計力學有聯繫。
圖論
圖是組合的基本對象。問題的範圍從計算（例如，n個頂點上有k個邊的圖的數目）到結構（例如哪個圖包含哈密爾頓周期）到代數問題（例如給定圖G和兩個數x和y，Tutte多項式TG（x，y）有一個組合解釋？）。雖然圖論與組合學之間有很強的聯繫，但這兩者有時被認為是不同的主題。這是因為組合方法適用於許多圖論問題，這兩者通常用於尋求解決不同的問題。
設計理論
設計理論是組合設計的一個研究，它是具有一定相交屬性的子集的集合。塊設計是特殊類型的組合設計。這個領域是組合學中最古老的部分之一，如1850年提出的柯克曼的女學生問題。問題的解決是一個斯坦納系統的特例，這個系統在有限簡單群體的分類中扮演著重要的角色。該領域還與編碼理論和幾何組合相關。
有限幾何
有限幾何學是研究只有有限數量的點的幾何系統。結構類似於連續幾何（歐幾里德平面，實際投影空間等）中所發現的，但組合定義的結構是所研究的主要項目。這個領域為設計理論提供了豐富的例子。它不應該與離散幾何（組合幾何）混淆。
秩序理論
陣營理論
Matroid理論抽象幾何的一部分。它研究向量空間中向量集合（通常是有限集合）的屬性，它不依賴於線性依賴關係中的特定係數。不僅結構而且枚舉性質屬於擬陣理論。哈特勒·惠特尼（Hassler Whitney）介紹了擬陣理論，並將其作為秩序理論的一部分進行了研究。它現在是一個獨立的研究領域，與組合的其他部分有許多聯繫。
極值組合
極值組合研究集合系統的極值問題。在這種情況下提出的問題的類型是關於滿足某些屬性的最大可能圖。例如，2n頂點上最大的無三角形圖是一個完整的二部圖Kn，n。通常很難找到極值的答案f（n），只能給出一個漸近估計。
拉姆齊理論是極端組合的另一部分。它指出，任何足夠大的配置將包含某種順序。這是鴿子原理的一種高級概括。
機率組合
通常與保羅·埃爾多斯（PaulErdős）有過關於這一主題的開拓性工作，傳統上把機率組合學看作是一組工具來研究其他組合的問題。然而，隨著套用的增長的算法分析，在計算機科學，以及古典機率，添加劑和機率數論，該地區最近發展成為組合數學的一個獨立的領域。
代數組合
代數組合是一個數學領域，在各種組合環境中採用抽象代數的方法，特別是群論和表示論，相反地，將組合技術套用於代數問題。代數組合在其主題和技術上不斷擴大其範圍，可以看作是組合和代數方法之間相互作用特彆強大和重要的數學領域。
幾何組合
幾何組合與凸和離散幾何有關，特別是多面體組合。例如，它詢問多少個凸多面體可以具有多少個面。多面體的度量性質也起著重要的作用，例如關於凸多面體剛度的Cauchy定理。也考慮特殊的多面體，如permutohedra，associahedra和Birkhoff多形體。我們應該注意到組合幾何對於離散幾何來說是一個老式的名字。
拓撲組合
算術組合
算術組合出現在數論，組合，遍歷理論和諧波分析之間的相互作用之中。它是關於與算術運算相關的組合估計（加法，減法，乘法和除法）。添加數論（有時也稱為加性組合）是指僅涉及加減運算的特例。在算術組合學的一個重要技術是遍歷理論的動力系統。
相關領域
組合最佳化
編碼理論
編碼理論作為設計理論的一部分，以糾錯碼的早期組合結構開始。本課題的主要思想是設計高效可靠的數據傳輸方法。它現在是一個大的研究領域，是資訊理論的一部分。
離散和計算幾何
離散幾何（也稱為組合幾何）也開始作為組合的一部分，在凸多面體和接吻數字上有早期的結果。隨著離散幾何學套用於計算幾何學的出現，這兩個領域部分合併，成為一個獨立的研究領域。與幾何和拓撲組合學仍然有許多聯繫，它們本身可以被看作是早期離散幾何的產物。
組合和動力系統
動力系統的組合方面是另一個新興領域。這裡可以在組合對象上定義動態系統。見例如圖動力系統。
