機率數論

機率數論是數論的一個分支,研究數論函式的分布問題,真正意義上的機率數論開始於1917年G.H.哈代與S.A.拉馬努金關於數論函式ω(n)的深入研究。

內容簡介,發展簡史,

內容簡介

此處ω(n)表示n的不同素因子的個數,例如ω(1)=0,ω(2)=1,ω(20)=2,ω(30)=3。對於任意的k,當nk個不同素數之積時,有ω(n)=k。特別,當n=p為素數時,有ω(p)=1。所以ω(n)(n=1,2,…)的分布很不規則,它可以取任意大的整數值,而又無窮多次取值1及2,3等。因此,研究ω(n)的值分布就從研究ω(n)在區間【1,x】中的期望值入手,其中x是大於或等於2的整數。命Ak表示區間【1,x】中為k所整除的整數組成的集合,Px(Ak)表示Ak的機率。例如當x=100時,
一般說來
假定pq互異的素數,則
,所以當x充分大時,有
這說明當n在區間【1,x】中隨機選取時,事件ApAq是漸近獨立的,所以ω(n)在【1,x】中的期望值為
它漸近地等於
(見素數分布)。
這就說明在 ω(n)(1≤nx)中,只有極少數是偏離ln lnx 的。
1934年,P.圖蘭進而證明了

發展簡史

機率數論開始於1917年G.H.哈代與S.A.拉馬努金關於數論函式ω(n)的研究。
1939年P.愛爾特希與M.卡茨發展了P.圖蘭的方法,並稱之為愛爾特希-卡茨定理。
在機率數論方面作過重要貢獻的還有J.庫比利烏斯、M.B.巴班、A.溫特納和P.D.T.A.埃利奧特等人。

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