素元

定義

交換環R 的元素 p 被稱為素元，若該元素不為 0 或單位元，且若 p整除ab（a 與 b 為 R 內的元素），則 p 整除 a 或 p 整除 b。等價地說，一元素 p 為素元，若且唯若由 p 產生的主理想(p) 為非零素理想。

對素元的興趣來自於算術基本定理。該定理斷言，每個非零整數都可以以唯一一種方式寫成 1 或 -1 乘上一串正素數之乘積。這導致了對唯一分解整環的研究，推廣了僅在整數內被描述之概念。

一個元素是否為素元，取決於該元素處於哪個環內；例如，2在 Z 里是個素元，但在高斯整數環 Z[i] 里則不是，因為 2 = (1 + i)(1 - i) 且 2 無法整除等式右邊的任一因子。

一個環是一個集合 A 以及它上面的兩種運算，分別稱為“加法”（+）和“乘法”（*），滿足以下條件：

1、A 關於加法成為一個 Abel 群（其零元素記作 0）；

2、乘法滿足結合律：(a * b) * c = a * (b * c)；

3、乘法對加法滿足分配律：a * (b + c) = a * b + a * c, (a + b) * c = a * c + b * c；

如果環 A 還滿足以下乘法交換律，則稱為“交換環”：

4、乘法交換律：a * b = b * a。

如果交換環 A 還滿足以下兩條件，就稱為“整環”：

5、A 中存在非零的乘法單位元，即存在 A 中的一個元素，記作 1，滿足：1 不等於 0，且對任意 a，有：1 * a = a * 1 = a；

6、ab=0 => a=0 或 b=0。

例：

1、整數環是整環。

2、整環上的多項式環仍是整環。

3、當 n>1 時，任意環上的n階矩陣環不是整環。

環 R 內的一個理想 I 為素理想，若商環 R/I 為一整環。

一非零主理想為素理想，若且唯若該主理想由一素元所產生。

不可將素元與不可約元素搞混。在一整環里，每個素元都是不可約元素，但反之不一定成立。不過，在唯一分解整環（或更一般地，在GCD環）里，素元與不可約元素會是相同的元素。

舉例來說，在二次整數環中，可以用範數證明 3 是不可約元素。不過，3 不是素元，因為

但 3 無法整除

，也無法整除

。

下面為環里的素元之例子：