等價範數

等價範數（equivalence of norms）是同一個線性空間上的兩個範數之間的一種關係。有限維空間上的任何兩個範數必是等價的，且具有相同維數的兩個有窮維線性賦范空間在代數上是同構的，在拓撲上是同胚的。Banach空間中的兩範數等價，則說明這兩個範數的Banach空間拓撲性質相同，特別是 B 空間中序列的收斂性、集合的有界性、線性運算元的有界性、以及一族運算元的一致有界，在從一個範數變化到另一個範數時，都是不變的。

基本介紹

• 中文名：等價範數
• 外文名：equivalence of norms
• 本質：同一線性空間上兩範數之間的關係
• 等價的意義：兩範數等價對應空間拓撲性質相同
• 重要結論：有限維空間上任何兩個範數必等價
• 套用學科：泛函分析、計算流體力學

預備知識

線性空間

設 X 是一個非空集，K 是復（或實）數域，如果滿足條件：

（1）X 是一加法交換群，即對 ，記作 稱為 之和，適合

① ；

② ；

③ 存在唯一的 ，對 ；

④ 對任意的 ，存在唯一的 ，使得 ，記作 為 ；

（2）定義數域 K 中的數 與 的數乘運算，即 ，記作 稱為 對 的數乘，適合

① ；

② ；

③ ；

④ ；

則稱 X 為一復（或實）線性空間。

線性空間範數

若線性空間 X 上的一個非負值函式 滿足：

（1）正定性： ；

（2）三角不等式： ；

（3）齊次性： ；

則稱 為線性空間 X 上的一個範數。

賦范線性空間

當賦準範數的線性空間中的準範數是範數時，稱該空間為賦范線性空間。

相關比較

設線上性空間 X 上給定了兩個範數 和 ，若有 ，則稱 比 強。

為了 比 強，必須且只需存在常數 C>0 ，使得 。

定義

在許多分析問題中，引進範數或引進距離是為了研究一種收斂性。因此，如果我們關心的只是按照一定意義的收斂性而不是距離本身的大小，那么在空間上我們就可以認為決定同一收斂性的不同範數是等價的。等價範數是同一個線性空間上的兩個範數之間的一種關係。

數學表示

設線上性空間 X 上給定了兩個範數 和 ，如果 比 強，並且 比 強，則稱 和 等價。

等價的意義

Banach空間中的兩範數等價，則說明這兩個範數的Banach空間拓撲性質相同，特別是 B 空間中序列的收斂性、集合的有界性、線性運算元的有界性、以及一族運算元的一致有界，在從一個範數變化到另一個範數時，都是不變的。

因此，與在同一個集合 X 上可以定義不同的距離使 X 成為不同的度量空間一樣，在同一個線性空間 E 上，也可以定義不同的範數，使E構成不同的賦范線性空間。

基本結論

結論1

（等價範數定理）

設線上性空間 X 上給定了兩個範數 和 ，若存在兩個常數 ，使得

則有兩範數 和 等價。

結論2

設 X 是一個有窮維線性空間，若 和 都是 X 上的範數，則必有常數 ，使得：

該結論表明：具有相同維數的兩個有窮維線性賦范空間在代數上是同構的，在拓撲上是同胚的。