矩陣論與數值分析——理論及其工程套用

內容簡介

本教材根據（全日制、在職）工程碩拳棕士研究生的特點和培養艱霉雄創新型人才的要求，將矩陣論與數值分析的有關理論與方法按內容體系編寫.全書共6章，分別是矩陣運算與矩陣分解、線性空間與線性變換、矩陣的若爾當標準形與矩陣函式、方程與方程組的數值解法、數值逼近方法與數值微積分、常陵章放微分方程的數值解法.為提高工程碩士研究生套用數學方法和科學計算解決實際問題的能力，各章最後一節給出了一些套用案例，對一些重要的問題給出了求解問題的MATLAB程式.

本書可供工程碩士研究生以及理工科非計算數學專業的大學生閱讀，也可供科技工作者參考.

圖書目錄

第1章矩陣運算與矩陣分解/1

1.1 矩陣及其基本運算1

1.1.1 矩陣及其基本運算回顧1

1.1.2 矩陣的初等變換3

1.2 矩陣分解及其在解線性方程組中的套用10

1.2.1 矩陣的三角分解（LU分解） 10

1.2.2 矩陣的正交三角分解（QR分解）18

1.2.3 矩陣的滿秩分解20

1.2.4 矩陣的奇異值分解21

1.3 矩陣的特徵值與特徵向量23

1.3.1 特徵值與特徵向量24

1.3.2 特徵值的估計27

1.3.3 求主特徵值及其特徵向量的冪法29

1.3.4 QR方法簡介31

1.4 矩陣的廣義逆及其套用33

1.4.1 廣義逆矩陣A-33

1.4.2 廣義勸判驗閥逆A+36

1.5 套用案例39

1.5.1 電力系統小干擾穩定性分析39

1.5.2 火力發電機組熱功效率的線上計算43

1.5.3 奇異值與特徵值分解在諧波源定階中的等價性墓辣櫃47

本章小結49

習題150

第2章線性空間與線性變換/53

2.1 線性空間53

2.1.1 集合與映射53

2.1.2 線性空間54

2.1.3 線性空間的基、維數與坐標55

2.1.4 線性子空間60

2.2 賦范線性空間與矩陣範數64

2.2.1 賦范線性空間64

2.2.2 矩陣的範數65

2.3 內積空間69

2.3.1 內積的定義與性質 69

2.3.2 向量的正交堡厚您性與施密特（Schmidt）正交化方法71

2.4 矩陣分析初步77

2.4.1 矩陣序列的極限77

2.4.2 矩陣級數78

2.4.3 矩陣冪級數79

2.4.4 矩陣的微分和積分 81

2.5 線性變換82

2.5.1 線性變換的定義與性質82

2.5.2 線性變換與矩陣85

2.5.3 線性變換的特徵值與特徵向量88

2.5.4 正交變換89

2.6 套用案例90

2.6.1 電路變換及其套用90

2.6.2 基於正交分解的MOA泄漏電流有功分量提取算法96

2.6.3 基於範數的唯一穩態消諧法及其套用101

2.6.4 線性變換在求高階線性常微分方程特解中的套用104

本章小結107

習題2108

第3章矩陣的若爾當標準形與矩陣函式/112

3.1 λ矩陣及其史密斯（Smith）標準形112

3.2 矩陣的若爾當標準形115

3.3 最小多項式119

3.4 矩陣函式125

3.5 套用案例128

3.5.1 矩陣函式在求解電路暫態回響中的套用128

3.5.2 線性系統的能控性與能觀性129

3.5.3 一階線性常係數微分方程組和高階線性常微分方程的

初值問題的求解132

本章小結136

習題3137

第4章方程與方程組的數值解法/140

4.1 線性方程組的疊代法140

4.1.1 疊代法的構造140

4.1.2 疊代法的收斂性與收斂速度142

4.1.3 幾個常用的疊代法144

4.2 線性方程組的共軛梯度法152

4.2.1 共軛方向法152

4.2.2 共軛梯度法153

4.3 非線性方程的數值解法156

4.3.1 根的隔離與求方程實根的二分法和試位法157

4.3.2 不動點疊代法162

4.3.3 牛頓疊代悼拔和炒法169

4.4 解非線性方程組的疊代法173

4.4.1 不動點疊代法174

4.4.2 牛頓疊代法175

4.5 套用案例178

4.5.1 電力系統潮流計算的數學模型及基本解法178

4.5.2 管路計算186

4.5.3 氣-液平衡計算190

4.5.4 架空導線的應力計算193

本章小結194

習題4195

第5章數值逼近方法和數值微積分/198

5.1 多項式插值198

5.1.1 插值問題與插值多項式198

5.1.2 拉格朗日(Lagrange)插值201

5.1.3 均差與牛頓插值公式 205

5.1.4 埃爾米特(Hermite)插值211

5.2 數值積分214

5.2.1 數值求積公式及代數精度215

5.2.2 插值型求積公式216

5.2.3 等距節點的求積公式217

5.2.4 復化求積公式219

5.2.5 龍貝格(Romberg)求積法222

5.2.6 高斯(Gauss)型求積公式227

5.3 數值微分231

5.3.1 泰勒展開法求數值微分232

5.3.2 用插值多項式求數值微分233

5.3.3 將數值微分轉化為求數值積分236

5.4 套用案例237

5.4.1 混頻器中變頻損耗的數值計算237

5.4.2 梯形平坡明渠的數值積分水力計算239

本章小結242

習題5243

第6章常微分方程的數值解法/247

6.1 常微分方程初值問題的歐拉方法247

6.1.1 歐拉(Euler)法248

6.1.2 梯形法250

6.1.3 預測-校正法(改進歐拉法)251

6.1.4 局部截斷誤差253

6.2 龍格-庫塔方法254

6.3 線性多步法259

6.4 邊值問題的差分方法和打靶法簡介262

6.4.1 解線性方程邊值問題的差分方法262

6.4.2 打靶法264

6.5 套用案例265

6.5.1 無源元件的“瞬態伴隨模型”的建立265

6.5.2 磁流體發電通道的數值計算270

6.5.3 平面溫度場計算問題272

本章小結274

習題6275

參考答案/277

參考文獻/289

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