基本介紹
- 中文名：皮爾遜積矩相關係數
- 外文名：Pearson product-moment correlation coefficient
- 簡稱：PPMCC或PCCs
定義,數學特性,數據分布的敏感度,存在性,大樣本的特性,穩健性,強噪聲條件下,維基相關條目,
定義
上式定義了總體相關係數，常用希臘小寫字母ρ(rho) 作為代表符號。估算樣本的協方差和標準差，可得到樣本相關係數(樣本皮爾遜係數)，常用英文小寫字母 r 代表：
數學特性
總體和樣本皮爾遜係數的絕對值小於或等於1。如果樣本數據點精確的落在直線上（計算樣本皮爾遜係數的情況），或者雙變數分布完全在直線上（計算總體皮爾遜係數的情況），則相關係數等於1或-1。皮爾遜係數是對稱的：corr(X,Y)=corr(Y,X)。
皮爾遜相關係數有一個重要的數學特性是，因兩個變數的位置和尺度的變化並不會引起該係數的改變，即它該變化的不變數(由符號確定)。也就是說，我們如果把X移動到a+bX和把Y移動到c+dY，其中a、b、c和d是常數，並不會改變兩個變數的相關係數（該結論在總體和樣本皮爾遜相關係數中都成立）。我們發現更一般的線性變換則會改變相關係數：參見之後章節對該特性套用的介紹。
由於μX= E(X), σX= E[(X−E(X))] =E(X)−E(X)，Y也類似, 並且
故相關係數也可以表示成
對於樣本皮爾遜相關係數:
以上方程給出了計算樣本皮爾遜相關係數簡單的單流程算法，但是其依賴於涉及到的數據，有時它可能是數值不穩定的。
數據分布的敏感度
存在性
總體皮爾遜相關係數被定義成矩, 因此任意的雙變數機率分布是非零的， 也就是說總體協方差和邊緣總體方差是由定義的。 一些機率分布， 諸如柯西分布有未定義的方差，因此XorY如果服從這種分布，ρ便是未定義的。 在實際套用中, 如果有數據被懷疑服從重尾分布, 這個條件就需要引起重視。 然而, 相關係數的存在性通常並需要太介意; 例如, 如果分布是有界的, ρ 便總是有意義的。
大樣本的特性
穩健性
與其他常用的統計指標相似的, 樣本指標r不是穩健的。因此如果由異常值，這個指標是有誤導性的。特別的, PMCC 既不是穩健分布的,也不是異常值穩健的(seeRobust statistics#Definition)。 對X和Y的散點圖的觀察可以很明顯的揭示出缺乏穩健性的情況,在這種情況下，採用的聯合的方法是比較明智的。 注意到，雖然大多數穩健的估計器從某種程度上說都是有統計依賴的, 它們總的來說，在總體相關係數的尺度上都是可辨的。
基於皮爾遜相關係數的統計推斷對數據分散式敏感的。 如果數據大致是常態分配的，可以使用精確檢驗和基於Fisher變換的漸進檢驗，但是它們可能由誤導性。 在一些情況下,自助採樣可以用來構造置信區間。 同時，重複抽樣可以套用在假設檢驗中。 這些非參數化的方法在某些情況下，如雙變數常態分配不能保證時，可能得出更有意義的結論。 然而，這些方法的標準形式依賴於數據的可交換性。這也就意味著被分析的數據時沒有順序的和組別的。因為這有可能會影響估計相關係數的特性。
分層分析是一種容許缺少雙變數正態性的方法，或者說是用來隔離相互關聯因素的關聯結果。 如果W代表聚類成員或者其它需要被控制的因素，我們可以分離基於W的數據, 然後我們可以再每個層里計算相關係數。 當我們控制變數W，我們便能在層的等級上估計與所有相關係數相關的各自的相關係數。
強噪聲條件下
強噪聲條件下，提取相關係數兩個隨機變數之間的是平凡的，特別是在典型相關分析報告在退化的相關值的情況下，由於存在大量噪聲。一種概括的方法在其他地方給出。
維基相關條目
- 史匹曼等級相關係數
- Disattenuation
- Maximal information coefficient
