重尾分布

重尾分布（Heavy-tailed distribution）是一種機率分布模型，它的尾部比指數分布還要厚。在許多情況下，右邊尾部的部分比較受到重視，但左邊尾部比較厚，或是兩邊尾部都比較厚的狀況，也被認為是一種重尾分布。

基本介紹

• 中文名：重尾分布
• 外文名：Heavy-tailed distribution
• 簡介：是一種機率分布模型
• 特點：它的尾部比指數分布還要厚
• 分類：長尾分布；次指數分布

簡介

重尾分布又可以分為兩個子類型，分別是長尾分布（long-tailed distributions）以及次指數分布（subexponential distributions）。

定義

在一個累積分布函式中，一個隨機變數X　的分布狀況，在以下狀況時，被稱為是一個重尾分布。假設：

如果以尾部分布函式的方式來呈現時，

最後可以被寫成：

這相當於一個動差生成函式， ，對所有的t>0 來說，都是無限的。重尾分布的左尾，與雙尾分布，定義相同。

解釋

重尾分布意味著可以更大的機率獲得很大的值. 因此與弱隨機性相反，重尾分布一般表示病態，增加的各種結果被確定為具有重尾分布，包括收入分布、財務報告、保險支出、網頁的參考連結等。重尾分布的一個特殊的子集是冪律，其意味著機率密度函式是一個冪。 一個技術難題是，不是所有的矩存在於這些分布，這一般意味著它們使用分位數和其它順序統計學。這也就是說，中心極限定理不再成立。但是對於諸如均值，即穩定分布的線性組合，我們獲得一個新的標準極限分布。

設X是一個隨機變數， 為它的分布函式，如果當 時 稱X的分布為重尾分布，又稱冪律分布。

一般來說，服從重尾分布的隨機變數X具有較大甚至是無窮大的方差，而且當 時，X的均值也是無窮的。隨機變數X會以不可忽略的機率取到非常大的數值，即：大量的小抽樣取值和少量的大抽樣取值並存。

分類

1.長尾分布

在一個累積分布函式中，一個隨機變數X的分布，出現以下狀況時，被稱為是一個長尾分布。假設對所有t>0 ：

這相等於

對一個右尾部形成長尾分布的狀況，我們可以做一個直觀的解釋：假如一個長尾分布的尾部數量超過某個很高的水準，它超過另一個更高水準的機率會接近於一。也就是說，如果你發現狀況很糟，它可能會比你想像的還要糟。

長尾分布是重尾分布中的一個特例。所有的長尾分布都是重尾分布，但反之則不然，也就是說，我們可以找出某一個重尾分布，它不是長尾分布。

次指數分布

次指數分布是以機率分布的折積定義出來的。兩個獨立、不同的隨機變數的共同分布函式 ，它自己的折積定義為，使用勒貝格-史台傑斯積分（Lebesgue–Stieltjes integration） 定義為：

n-fold折積的 也以同樣方式定義。其尾端分布函式定義為{。

當以下式子成立，機率分布函式在正的中線上，被定義為次指數分布：

這也意味著，對所有來說：