正規化子

正規化子

設G為,a是G中給定的元素,a的正規化子N(a)表示G中與a可交換的元素構成的集合,即由確定的元素(確定子群的元素)可交換群的元素組成的集合(子群)。

基本介紹

  • 中文名:正規化子
  • 定義:交換的元素構成的集合
  • 學科:數學
  • 表達式:N(a)={x|x∈G & xa=ax}
定義,相關定理,定理1,定理2,定理3,定理4,定理5,

定義

是群
的一個子集,稱
中的正規化子,元素
的正規化子記為

相關定理

定理1

是群
的任一非空子集,則
(1)
(2) 當
時,
證明(1)因為
,故
非空,又在
中任取x,y,則
,從而
,故
(2)任取
,由於H是子群,故
從而
又任取
,則
,從而
如果
,則對K中任意元素k便有
,從而便有
,即
這就是說子群的正規化子
(也叫H的正規化群)是
中以H作為其正規子群的最大子群。
顯然子群H的正規化子是整個群
若且唯若H是群
的一個正規子群,另外也可能出現另一種極端,即
,例如三次對稱群
的子群
就屬於這種情況。

定理2

是群
的一個非空子集,
中的正規化子,則
中與共軛子集數等於
,即S的所有共軛子集與
關於
的所有陪集間可建立雙射
證明 令是中含的共軛子集類(即與共軛的全體子集),再令
,則便有
,從而
是M到
的左陪集的一個映射,又易知
還是滿射單射,從而為雙射。

定理3

pq階群(p,q為素數且p<q)有唯一的q階正規子群。

定理4

引理
是群
的兩個共軛子群,且
,
,則
定理
是群
的一個共軛元素類,則
中各元素的正規化子作成的集合恰好是
的一個共軛子群類。
證明 任取
,且設
,由引理有
又設子群H與
共軛,其中
,令
則由引理知
但是
,即與
共軛的子群必為
中某元素的正規化子。

定理5

如果群
中有一個具有限指數(大於1)的子群,則在
中必有一個具有限指數(大於1)的正規子群。

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