正則開集(regular open set)是一類強於開集的集合。在數學中，集合是一個不加定義的“原始概念”。這就是說，不能用比它更原始的概念去定義它。因此，集合在數學中被作為原始的最基本的概念來定義其它數學概念。集合是數學概念的出發點。
基本介紹
- 中文名：正則開集
- 外文名：regular open set
- 領域：數學
- 概念：一類強於開集的集合
- 學科：集合論
- 對偶概念：正則閉集
概念,拓撲空間,集合,開集,閉集,閉包,
概念
正則開集(regular open set)是一類強於開集的集合。設A為拓撲空間X的子集。若A的閉包的內部等於A，即(A)°=A，則稱A為X的正則開集。正則開集一定是開集，但是反之未必成立。若A的內部的閉包等於A，即
，則稱A為X的正則閉集。正則閉集一定是閉集，但是反之未必成立。A為X的正則開集若且唯若A的補集為X的正則閉集。
拓撲空間
歐幾里得空間的一種推廣。給定任意一個集，在它的每一個點賦予一種確定的鄰域結構便構成一個拓撲空間。拓撲空間是一種抽象空間，這種抽象空間最早由法國數學家弗雷歇於1906年開始研究。1913年他考慮用鄰域定義空間，1914年德國數學家豪斯多夫給出正式定義。豪斯多夫把拓撲空間定義為一個集合，並使用了“鄰域”概念，根據這一概念建立了抽象空間的完整理論，後人稱他建立的這種拓撲空間為豪斯多夫空間(即現在的T2拓撲空間)。同時期的匈牙利數學家裡斯還從導集出發定義了拓撲空間。20世紀20年代，原蘇聯莫斯科學派的數學家П.С.亞里山德羅夫與烏雷松等人對緊與列緊空間理論進行了系統研究，並在距離化問題上有重要貢獻。1930年該學派的吉洪諾夫證明了緊空間的積空間的緊性，他還引進了拓撲空間的無窮乘積(吉洪諾夫乘積)和完全正規空間(吉洪諾夫空間)的概念。
20世紀30年代後，法國數學家又在拓撲空間方面做出新貢獻。1937年布爾巴基學派的主要成員H.嘉當引入“濾子”、“超濾”等重要概念，使得“收斂”的更本質的屬性顯示出來。韋伊提出一致性結構的概念，推廣了距離空間，還於1940年出版了《拓撲群的積分及其套用》一書。1944年迪厄多內引進雙緊緻空間，提出仿緊空間是緊空間的一種推廣。1945年弗雷歇又提出抽象距的概念，他的學生們進行了完整的研究。布爾巴基學派的《一般拓撲學》亦對拓撲空間理論進行了補充和總結。
此外，美國數學家斯通研究了剖分空間的可度量性，1948年證明了度量空間是仿緊的等結果。捷克數學家切赫建立起緊緻空間的包絡理論，為一般拓撲學提供了有力工具。他的著作《拓撲空間論》於1960年出版。近幾十年來拓撲空間理論仍在繼續發展，不斷取得新的成果。
集合
集合是現代數學的一個重要的基本概念。當我們把一組確定的事物作為整體來考察時，這一整體就叫做集合。
例如，(1)從1到10這10個自然數的全體;(2)小於100的所有質數的全體;(3)全體自然數;(4)一個班所有學生這一整體;(5)世界上所有國家組成的一個整體;等等，它們都是集合的例子。
上述例子可以看出，它們都是分別由不同的對象組成的一個整體，它們的特點是有確定的對象和具有一定的範圍。所以集合這個概念可以用以下的語言來描述：
集合是具有一定範圍的、確定的對象的全體。集合也簡稱為集。
在數學中，集合是一個不加定義的“原始概念”。這就是說，不能用比它更原始的概念去定義它。因此，集合在數學中被作為原始的最基本的概念來定義其它數學概念。集合是數學概念的出發點。
集合概念具有以下一些屬性：
(1)集合指的是一類事物的整體，而不是指其中的個別事物。
(2)集合中的任一對象具有確定性，即對於任何事物，可以通過某種法則確定其是否屬於某集合，或不屬於某集合，二者必居其一。(應指出，不具有這條屬性的，界限不清的集合是模糊集合。我們這裡所說的集合不是模糊集合，而是普通集合。)
(3)在一般情況下，約定一個集合中的各個對象是互不相同的。凡一個集合中所有相同的對象均應合併起來成為一個對象。例如，由1，1，2，2四個數組成的集合，應變成由1，2兩個數組成的集合。
(4)在一般情況下，集合只與組成它的成員有關，而與它的成員的順序無關。如由1，2，3，4組成的集合與由2，1，4，3組成的集合是同一個集合。
(5)一個集合不必由同一類事物作為它的對象。例如，由2， 3，a，b可以組成一個集合。
集合一般用大寫字母A，B，C，…表示。
開集
拓撲空間的基本概念之一。在集合X上確定適當的拓撲結構T後，T中的元素就稱為T開集，在不致混淆時亦簡稱開集。拓撲T亦稱為開集系.開集的補集是閉集，開集G的每一點都是G的內點，G也是G的任一點的鄰域。開集、閉集、內部、閉包等概念都是康托爾(Cantor，G.(F.P.))在研究歐幾里得空間的子集類時引進的。豪斯多夫(Hausdorff，F.)於1914年將它們推廣到抽象空間。
閉集
拓撲空間的基本概念之一。拓撲空間中開集的補集稱為閉集。集合A是閉集若且唯若A等於它的閉包，或A的每個聚點都屬於A。拓撲空間X中閉集的全體稱為X的閉集系。由閉集的定義可得到與開集對偶的三條性質：
1.空集與X均為閉集。
2.任意多個閉集的交是閉集。
3.任意兩個閉集的並是閉集。
閉包
圖論的一個基本概念。指由一個圖所派生出的另一個圖。具體地說，一個圖G的閉包H是指符合下列條件包含邊最少的圖：G是H的支撐子圖；對於H上任何兩不相鄰節點v和w，都有ρH(v)+ρH(w)<n，這裡n表示H的階，ρH(v)和ρH(w)分別表示圖H上節點v和w的次。所謂閉包運算，就是如下從圖G得到它的閉包的遞歸過程：連通圖G上任何一對不相鄰且滿足ρG(u)+ρG(v)≥n的節點u和v連一邊，這裡ρG(u)和ρG(v)分別表示u，v在G上的次，而n表示G的階；對所得的圖仍進行這種運算，直到得到這樣的圖H，對於任何一對不相鄰節點u和v均有ρH(u)+ρH(v)<n成立。奧爾(Ore，O.)於1961年證明：若一個連通的簡單圖G，對於任何兩個不相鄰的節點，它們的次之和不小於G的階，則G必為哈密頓圖。稱節點次之和特別是兩個節點次之和所滿足的條件為奧爾型條件。所謂一個圖G的k閉包，是指符合下列條件且包含邊最少的圖H：G是H的支撐子圖；對於H上任何兩不相鄰節點v和u，都有ρH(v)+ρH(u)<k，0<k≤2n-4。於是，n階圖的閉包就是n閉包。這種與閉包運算類似的求一個圖的k閉包的過程稱為k閉包運算。設P是n階圖上的某種性質.在一個n階圖G上的兩個不相鄰的節點u，v，它們次之和ρG(u)+ρG(v)≥k。若G+(u，v)(即在G上加一條新邊所得的圖)具有性質P可以導出G本身也具有性質P，則稱P是k穩定的。若P是k穩定，則從一個圖的k閉包具有性質P可以導出它本身也有性質P。具有哈密頓圈的性質是n穩定的。
