預備知識
t-範數
常用三角範數
定義
度量空間的概念首先EhM.Frechet於1906年引入。這一框架的特點在於對空間中任何兩點,都對應於一非負實勢,並稱這一數為該兩點的距離。毫無疑問,這種結構對許多問題來說是最為自然和最為適合的。但是,由於自然界許多量之間具有
隨機性。例如,在測量中存在隨機誤差,又如在量子力學中,基本粒子本身可以看成一隨機變數,它們之間的距離就不能用一個確定的實數描述。因此,在許多情形,用一個統計量或用機率描述集合內兩點問的距離,比用一個非負實數更符合客觀實際。正是基於這種思想,早在四十年代K.Meager在他的工作中提出機率度量空間的概念。在Meager的理論中,就是用一個
分布函式表示空間中兩點的距離。
機率度量空間(probabilistic metric space,簡記為PM-空間),亦稱門傑機率度量空間,它是度量空間的一種重要推廣,是指度量空間把兩點間距離用一個統計量描述的一種空間。通常的度量取值於非負實數集,而機率度量取值於分布函式集。
1942年,K.Menger提出PM-空間以來,一直進展很慢,直到20世紀60年代,B.Schwweizer、A.sklar等研究了其拓撲結構,才使得這一理論有了較快的發展,但仍有大量的問題有待研究。
PM空間
記
,
表示一切左連續的
分布函式集合,
表示
的子集合
表示如下的特殊的分布函式,即:
。
注意2:若
為度量空間,定義
,則
滿足上述(1)~(4)條件。
PN空間
注意:令
,易得機率線性賦范度量空間為機率度量空間的特例。
M-PM空間
則稱三元組
為 Menger 機率度量空間,記作M-PM空間。
拓撲結構
PM空間
命題1:設
為機率度量空間,定義
,則 d 是 E 上的度量,故
是度量空間。
命題2:設
為機率度量空間,且
取值於
,定義
,
,則最任意給定的
,
為關於
的減函式,且有
。
命題3:設
為機率度量空間,還滿足條件
,當
,
時,有
,則有:
(2)對每一
,E中有
鄰域系,
,其中
,所導出的拓撲
與
中由鄰域系
所導出的
拓撲是一致的,其中
。
M-PM空間
(2)當 t-範數
滿足
時,
可度量化,且
為 E 上度量,其拓撲可由鄰域系
產生。
不動點定理
不動點定義
設
為完備的 M-PM 空間,
為
壓縮映射,即對
,有:
定理1
定理2
設
為完備的 M-PM 空間,
滿足
,且
為壓縮映射,則下列兩個結論必具其一:
相關研究
《機率度量空間的有界性、可分性與緊性》一文系統地提出了機率度量空間上的
有界性、
可分性、
緊性、一致緊性等概念,對空間結構進行了較全面的探討,證明了涉及各種概念之間、關係的一系列定理。
《機率度量空間中的一類非線性運算元方程的可解性》一文利用
泛函在機率度量空間中引入
半序,並利用此半序的方法研究了機率度量空間中的
非線性運算元方程Lx=Ax的可解性問題,得到了幾個新的定理;同時推廣了若干重要定理。
《關於機率度量空間中若干非線性運算元問題的研究》一文主要研究了機率度量空間中的幾個非線性問題。機率度量空間中元素之間的距離是用
分布函式來度量的,並且通常的度量空間都是機率度量空間的一個特殊情況,所以研究機率度量空間中的非線性運算元問題具有非常重要的意義。