機率度量空間

機率度量空間

機率度量空間(probabilistic metric space,簡記為PM-空間),亦稱門傑機率度量空間,它是度量空間的一種重要推廣,是指度量空間把兩點間距離用一個統計量描述的一種空間。通常的度量取值於非負實數集,而機率度量取值於分布函式集。1942年,K.Menger提出PM-空間以來,一直進展很慢,直到20世紀60年代,B.Schwweizer、A.sklar等研究了其拓撲結構,才使得這一理論有了較快的發展,但仍有大量的問題有待研究。

基本介紹

  • 中文名:機率度量空間
  • 外文名:probabilistic metric space
  • 別名:門傑機率度量空間,PM-空間
  • 引入時間:1942年
  • 最早提出者:門傑(Menger.K.)
  • 套用學科:不動點理論
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預備知識

t-範數

已知
,如果對
有:
(1)
(2)
(3)
時;
(4)
此時稱
為t-範數。

常用三角範數

(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)

定義

度量空間的概念首先EhM.Frechet於1906年引入。這一框架的特點在於對空間中任何兩點,都對應於一非負實勢,並稱這一數為該兩點的距離。毫無疑問,這種結構對許多問題來說是最為自然和最為適合的。但是,由於自然界許多量之間具有隨機性。例如,在測量中存在隨機誤差,又如在量子力學中,基本粒子本身可以看成一隨機變數,它們之間的距離就不能用一個確定的實數描述。因此,在許多情形,用一個統計量或用機率描述集合內兩點問的距離,比用一個非負實數更符合客觀實際。正是基於這種思想,早在四十年代K.Meager在他的工作中提出機率度量空間的概念。在Meager的理論中,就是用一個分布函式表示空間中兩點的距離。
機率度量空間(probabilistic metric space,簡記為PM-空間),亦稱門傑機率度量空間,它是度量空間的一種重要推廣,是指度量空間把兩點間距離用一個統計量描述的一種空間。通常的度量取值於非負實數集,而機率度量取值於分布函式集。
1942年,K.Menger提出PM-空間以來,一直進展很慢,直到20世紀60年代,B.Schwweizer、A.sklar等研究了其拓撲結構,才使得這一理論有了較快的發展,但仍有大量的問題有待研究。

PM空間

表示一切左連續的分布函式集合,
表示
的子集合
表示如下的特殊的分布函式,即:
如果
(記
),且滿足條件:對
,有:
(1)
若且唯若
(2)
(3)
(4)若
,則
稱有序對
為機率度量空間。
注意1:其中
可理解為
之間的距離小於
的機率。
注意2:若
為度量空間,定義
,則
滿足上述(1)~(4)條件。

PN空間

如果
是實賦范線性空間
滿足(記
,):
(1)
若且唯若
(2)
(3)
(4)若
,則
則稱
為機率線性賦范度量空間,記為PN空間。
注意:令
,易得機率線性賦范度量空間為機率度量空間的特例。

M-PM空間

已知三元組
,如果滿足:
(1)
為一 PM空間 ;
(2)
為一個 t-範數(三角範數),滿足
則稱三元組
為 Menger 機率度量空間,記作M-PM空間。

拓撲結構

PM空間

命題1:設
為機率度量空間,定義
,則 d 是 E 上的度量,故
是度量空間。
命題2:設
為機率度量空間,且
取值於
,定義
,則最任意給定的
為關於
的減函式,且有
命題3:設
為機率度量空間,還滿足條件
,當
時,有
,則有:
(1)對
是偽度量;
(2)對每一
,E中有鄰域系,
,其中
,所導出的拓撲
中由鄰域系
所導出的拓撲是一致的,其中

M-PM空間

為M-PM空間,則:
(1)當
取值於
時,按
為一度量空間;
(2)當 t-範數
滿足
時,
可度量化,且
為 E 上度量,其拓撲可由鄰域系
產生。

不動點定理

不動點定義

為完備的 M-PM 空間,
壓縮映射,即對
,有:
如果有
,則稱
不動點

定理1

機率度量空間中每一個壓縮映射,至多有一個不動點。

定理2

為完備的 M-PM 空間,
滿足
,且
為壓縮映射,則下列兩個結論必具其一:
(1)
有唯一不動點;
(2)

相關研究

《機率度量空間的有界性、可分性與緊性》一文系統地提出了機率度量空間上的有界性可分性、緊性、一致緊性等概念,對空間結構進行了較全面的探討,證明了涉及各種概念之間、關係的一系列定理。
《機率度量空間中的一類非線性運算元方程的可解性》一文利用泛函在機率度量空間中引入半序,並利用此半序的方法研究了機率度量空間中的非線性運算元方程Lx=Ax的可解性問題,得到了幾個新的定理;同時推廣了若干重要定理。
《關於機率度量空間中若干非線性運算元問題的研究》一文主要研究了機率度量空間中的幾個非線性問題。機率度量空間中元素之間的距離是用分布函式來度量的,並且通常的度量空間都是機率度量空間的一個特殊情況,所以研究機率度量空間中的非線性運算元問題具有非常重要的意義。

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