極限（範疇論）

概念介紹

極限分為極限與余極限（又稱上極限），彼此的定義相對偶。在不同場合的別名及英譯如下表：

余極限/上極限（colimit）	正（向）極限（direct limit）	歸納極限（inductive limit）
極限（limit）	逆（向）極限（inverse limit）	投射極限/射影極限（projective limit）

本條目用語取歸納極限與射影極限。

一範疇C中的極限及上極限可用C中的圖示來定義。形式上，C中類型J的圖示是指一個由J映射至C的函子：

範疇J稱之為“索引範疇”，圖示F可想做是以J索引C內的物件及態射。J實際的物件及態射為何並不重要，關鍵在於之間的互動。

通常，最感興趣的情況是當類型J為小範疇或有限範疇之時，此類圖示分別被稱為“小圖示”及“有限圖示”。

設F:J→C為一個在範疇C中類型J的圖示。一個對應於F的“錐體”是指C中的一物件N，具有可以J內之物件X索引的態射族 ψ_X:N→F(X)，使得對每個J內的態射f:X→Y，均有F(f) o ψ_X= ψ_Y。

圖示F:J→C的極限是一個對應於F的錐體 (L, φ)，使得對所有其他對應於F之錐體 (N, ψ)，總存在一個“唯一的”態射u:N→L，使得對所有J中的X，φ_Xou= ψ_X。

可以說，錐體 (N, ψ) 能被唯一的因子u分解成錐體 (L, φ)。此一態射u有時稱為“中介態射”。

極限亦稱之為“泛錐體”，因為其所具有之泛性質（詳見下文）。如同每個泛性質一般，上述定義敘述了一個有關一般性的對稱狀態：極限物件L夠一般，能讓所有其他錐體分解；另一方面，L也必須夠特殊，每個錐體都只可能有“一個”因子。

極限也可視為是在對應於F的錐體範疇內的終對象。

圖示可能不存在極限；但若一個圖示存在極限，則此一極限一定是唯一的：在同構下是唯一的。

極限及錐體的對偶概念是上極限及上錐體。雖然可直接將上述定義的所有態射反轉，以得到上極限及上錐體之定義，但下文仍將明確敘明之：

圖示F:J→C的“上錐體是指C中的一物件N，具有可以每個J中的物件X索引的態射族

使得對每個J內的態射f:X→Y，均有 ψ_YoF(f)= ψ_X。

圖示F:J→C的上極限是F的上錐體 (L,)，使得對所有其他對應於F的上錐體 (N, ψ)，總存在一個“唯一的”態射u:L→N，使得對所有J中的X，uo_X= ψ_X。

上極限也稱為“泛上錐體”，也可視為是在對應於F的上錐體範疇內的始對象。

如同極限一般，若圖示F存在上極限，則此上極限在同構下是唯一的。