正向極限

正向極限亦稱極限，上積與推出的推廣。它是反向極限的對偶概念。在範疇論、同調代數、代數K理論、代數幾何等學科中起著重要的作用。

基本介紹

• 中文名：正向極限
• 外文名：direct limit
• 學科：數學
• 別稱：極限
• 作用場合：同調代數
• 相關名詞：反向極限

簡介

若 為 上的一個半環正向系，有半環R，對每個 ，有半環態射 滿足：

（1）對 中所有的i≤j 有 ；

（2）若任意半環S和態射集 對於 中所有i ≤j 滿足： ，則存在唯一的半環態射η：R →S 對所有的 有 。

稱滿足以上條件的 是正向極限，記為：lim R_i 。

正向極限存在性

若 是一個半環正向系，S 是R_i的無交並，在S上定義二元關係 等價於 中存在i , j ≤k 使得a ∈R_i，b∈Rj，μ_ik(a)=μj_k(b)。顯然對所有的n≥k 有μ_in(a)=μ_jn(b)。

令 ，半環態射 ，則 是半環正向系 的正向極限。

正向極限的一些性質

（1）半環S上的元素a稱為加法(乘法)冪等的，如果它滿足附加條件 ，半環 S 稱為冪等的。

（2）半環 S 稱為單半環，若 r ∈S ，a +1 =1；半環 S 稱為零和自由的。如果，有r+r'=0，則r+r'=0；半環 S 稱為整的，如果，有，則r=0或者r'=0。

（3）若 R 是半環正向系的正向極限，其半環態射，則 R 是加法(乘法)冪等的若且唯若對是加法(乘法)冪等的.

（4）若 R 是半環正向系的正向極限，其半環態射，則對中所有i≤j，，若且唯若。

（5）若 R 是半環正向系的正向極限，其半環態射，且中所有i≤j，，則：

1. Ri(i ∈ Ψ)是零和自由的若且唯若 R 是零和自由的；
   
2. Ri(i ∈ Ψ)是整的若且唯若 R 是整的。
   

（6）若 R 是半環正向系的正向極限，其半環態射，若是單的，則R是單的，如果，那么反之也成立。

（7）若 R 是半環正向系的正向極限，其半環態射，若是環，則R是環。

（8）若 R 是半環正向系的正向極限，其半環態射，若是加法冪等的，，則若且唯若。

（9）設為的推出，則A必是半正環正向系的正向極限，其中。

反向極限

反向極限(inverse limit)亦稱逆向極限或上極限。它是積與拉回概念的推廣，也是正向極限的對偶概念，在範疇論、同調代數、代數K理論、代數幾何等學科中有重要套用.設矛為一個範疇，了為一個擬序集所成的範疇。省的一個帶指標集了的反向系是指一個反變函子F。

正向極限的等價刻畫

第一定義

設是一個範疇，I,J,L是指標集，集合I與集合J元素之間有關係“≤”。集合I與集合L元素之間有關係“≤”，滿足對任意J∈J，存在i∈I，使得i≤j；對任意l∈L，存在i∈I，使得i≤l；對任意i∈I，存在J∈J,l∈L，使得i≤j，i≤l。

且若i≤j，有有確定的；若i≤l，有確定的，稱交換圖族為廣義推出族。

第二定義

設A是一個範疇，為範疇A中的一個以l為指標集的正向系，若是的廣義推出，則稱為正向系的正向極限。

正向化限的第二定義與第一定義是等價的。