一元二次方程的根的分布

根的分布一般指一元二次方程實根分布問題，是一類通過題乾中根的分布確定一元二次函式參數取值範圍的問題.根的分布是國中數學一元二次函式的基礎內容.

一元二次方程的根實質上對應二次函式圖象與 x 軸的交點橫坐標．因此，二次方程的實根分布問題，可以藉助二次函式圖象，利用數形結合的方法來研究．

事實上，二次方程求根公式 (能因式分解先分解) 和韋達定理可求解某些一元二次方程根的分布問題，但是不如二次函式圖象解決靈活.

基本介紹

• 中文名：一元二次方程的根的分布
• 外文名：Distribution of roots of a quadratic equation of one variable

實根分布

一元二次方程的根實質上對應二次函式圖象與軸的交點橫坐標。因此，二次方程的實根分布問題，可以藉助二次函式圖象，利用數形結合的方法來研究。

區間與區間根

1.區間表示某個範圍的數的集合，可分為開區間，閉區間，半開半閉區間

例如: 設,則開區間 表示所有在 和 之間的實數，但不包括和；閉區間 表示所有在和之間的實數，包括和；半開半閉區間 表示所有在和之間的實數，包括但不端槓祖包括 ．

2. (零點定理，嚴格證明要用到極限)對於連續函式 ，如果在區間 上有 ，則茅地估至少存在一個 ，，．

分布討論

我們先來討論一下二次項係數大於零，兩根均大於零的情況.

設 的兩根均大於零，則應滿足什麼關係？凶束嘗煉

解法 (1) 二次方程求根公式（如圖1）

圖1 求根公式

解法 (2) 韋達定理（如圖2）

圖2 韋達定理

在如下的特殊情況 (兩根均大於) 也可轉化成韋達定理求解:

圖3 韋達定理

解法 (3) 圖像法分析（如圖4、5）

圖4 圖象法

通過圖像法分析一元二次方程根的分布問題相對來說會更加靈活.韋達定理經常需要跟同一個數比較，如果要跟不同的數比較就不太好用了，故應優先考慮圖像法.

圖5 圖象法

一般地，設一元二次方程 的兩實根為，且 為已知參數，其中，令.

1.兩根與 k 的大小比較

圖6

2.兩根在定區間的分布

圖7

常見問題

(1) 反比例函式 的圖象在 分別連續，但在上不能認為其連續.

(2) 在其定義域內不是連續函式.

(3)不講拜必記憶上圖中的結論，只需在套用圖象法時考慮根的判別式、對稱軸和特殊點取值，然後推出二次方程參數應滿足的性質(必要性)即可.(有的時候對稱軸或判別式是多餘的，要具體情況具體乘屑跨分析)

(4)在利用圖像法時，必須要保證由圖像推出的性質能把二次函式圖象固定下遙府采殼來(也就是檢乎騙頸測充分性).

(5)當遇到這樣的方程且其二次項係數帶參數時，可以考慮除掉參數，以減少開口方向的討論.

參考例題

1.題目練習

2.參考答案