本質自伴運算元

本質自伴運算元

本質自伴運算元(essentially self-adjoint operator)具有自伴擴張的對稱運算元

基本介紹

  • 中文名:本質自伴運算元
  • 外文名:essentially self-adjoint operator
  • 適用範圍:數理科學
簡介,對稱運算元,虧指數,

簡介

本質自伴運算元具有自伴擴張的對稱運算元
對稱運算元A為本質自伴的充分條件有(其中條件1也是必要的):
1、n-=n+,其中(n-=n+)為A的虧指數;
2、A是半有界的,即存在實數r使對一切x∈𝓓(A)都有(Ax,x)≥r||x||。
3、A是實運算元,即存在H到H的反線性映射J(即
滿足(Jx,Jy)=(y,x),J=I,JA=AJ)。

對稱運算元

設T是作用在希爾伯特空間H上的稠定運算元,如果對任意
。亦即
,則稱T是對稱運算元。
每個對稱運算元都有閉的對稱擴張。如果對稱運算元T沒有真的對稱擴張,即若
且S是對稱運算元一定有
成立時,則稱T是極大對稱的(maximally symmetric )。
在一定條件下,對稱運算元與等距運算元可通過凱萊變換相互轉化。

虧指數

虧指數是與對稱運算元有關的數對
設A是復希爾伯特空間H中的對稱運算元,𝓡(A+iI)和𝓡(A-iI)稱為A的虧子空間,記n+=dim𝓡(A+iI),n-=dim𝓡(A-iI)(這裡空間的維數指該空間中完備規範正交系的勢),稱數對(n+,n-)為A的虧指數。
A自伴的充分必要條件是n-=n+=0。
對稱運算元A具有自伴擴張的充分必要條件是n-=n+

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