常係數微分運算元

常係數微分運算元(differential operator with constant coefficients)是係數為常數的線性偏微分運算元。賦范向量空間E的連續自同態通常叫做有界運算元，或簡稱為運算元。 定義在E的向量子空間上(該子空間在E中稠)，而在E中取值的所有線性映射則叫做E的非有界運算元。常係數微分運算元是賦以一致收斂範數的R之區間[a，b]上的全體連續函式之向量空間的非有界運算元。

基本介紹

• 中文名：常係數微分運算元
• 外文名：differential operator with constant coefficients
• 所屬學科：數學
• 所屬問題：偏微分方程(線性偏微分運算元)
• 相關概念：線性偏微分運算元，偏微分運算元等

基本介紹

常係數微分運算元是係數為常數的線性偏微分運算元，其一般形式為：

其中 為常數(實數或複數)。例如，拉普拉斯運算元

熱運算元 ，波運算元 等都是常係數微分運算元。線性偏微分運算元理論中的若干重要問題，如基本解的存在性、局部可解性、亞橢圓性的判定等對於常係數情形均已完全解決。

基本解的存在性定理

基本解的存在性定理(theorem for existence offundamental solution)是關於基本解存在性的一個定理。該定理斷言：每個非零的常係數微分運算元 都有基本解， 的基本解E作為廣義函式可如下構造： ，

其中 表示 的逆傅立葉變換。H為 中某個適當的區域，滿足 ，由基本解的存在可知常係數微分運算元是局部可解運算元。

亞橢圓常係數微分運算元

亞橢圓常係數微分運算元(hypoelliptic differential operator with constant coefficients)是最基本的亞橢圓運算元，設 是常係數微分運算元，則下述條件中的每一個都是 為亞橢圓運算元的充分必要條件：

1．以 記 集合 的距離，則當 時， 。

2．存在正的常數c及C，當 且 充分大時，不等式 成立。

3．記 ，對於每個非零多重指標 ，當 且 時，有 。

4．存在正的常數c及C，當 且 充分大時，不等式 成立。

施瓦茲定理

施瓦茲定理[Schwarz(th.de)]設 為 的開集 上的連續可微的數值函式，且在 的點 處兩次可微，則對 的任一相異元素偶 ，必有

這個定理表明，在 上無限可微的全體函式之向量空間 的全體自同態之代數中，所有自同態

兩兩可交換。因此，由這些自同態生成的酉子代數是交換的；它的元素是常係數微分運算元。

定強微分運算元

對 定義的微分運算元稱為在中具定強，若對任意固定的，常係數微分運算元及是等強的，即

下面的引理把這個條件改成通常更方便的形式。

引理1 設具定強，對固定的令並設是弱於的常係數運算元的有限維向量空間的基底，則有

這裡係數唯一確定，在為0且有與的係數相同的可微性及連續性質。