微分運算元法

微分運算元法

微分運算元法(method of differential operator)是1993年經全國科學技術名詞審定委員會審定公布的數學名詞。

基本介紹

  • 中文名:微分運算元法
  • 外文名:method of differential operator
  • 所屬學科微分方程數學
  • 公布時間:1993年
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一般形式

階常係數非齊次線性常微分方程的一般形式是
其中
為實常數

運算元多項式

定義

對於函式
規定下列記號及其意義:
,稱為形式上的運算元多項式.
對於函式
,規定
於是,常係數非齊次線性常微分方程可以寫成
,即

運算

可定義兩個運算元多項式
的加法和乘法:
(1)加法:
(2)乘法:
運算元多項式的運算滿足通常的多項式運算的一切規則. 特別地,它還可以作因式分解.

逆運算元

定義

稱運算元
逆運算元.
一般地,

性質

對於實變復值函式,逆運算元有下列性質:
,
,
是實函式,分別用
表示複數的實部和虛部. 則

特解解法

公式

,其特解可表示為
. 這就是運算元解法的基本形式
① 自由項
次多項式
可將
展開為形式上的泰勒級數(或洛朗級數
取展開式到第次項為止,則特解
② 自由項
(
可以是複數),
是實函式.

例題

例1
,求特解
.
解:自由項
為二次多項式,即
展開到2階即可,於是

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