《數學分析（四）》華東師範大學提供的慕課課程，授課老師是柴俊、龐學誠、戴浩暉、王麗萍、吳畏。
基本介紹
- 中文名：數學分析（四）
- 類別：慕課
- 提供院校：華東師範大學
- 授課老師：柴俊、龐學誠、戴浩暉、王麗萍、吳畏
課程簡介,課程大綱,參考教材,
課程簡介
“數學分析（四）”的教學內容涵蓋數項級數，函式項級數，冪級數和傅立葉級數四章內容，學習時間為10周。
“數學分析（四）”課程目標是在“數學分析（一）、（二）、（三）”學習的基礎上，通過進一步的學習和訓練，掌握無窮級數收斂的概念、收斂的充要條件及收斂性的各種判別法，函式列和函式項級數的一致收斂概念、一致收斂柯西準則以及一致收斂的判別方法，冪級數的解析性質、函式展開冪級數的方法，傅立葉級數的性質、展開及收斂性等知識；提高數學修養和數學學習能力，掌握數學的基本思想方法，為後繼學習打好基礎；讓學生了解微積分的創立是推動現代科學技術發展的火車頭，是人類文明的成果，最終使學生的數學思維能力得到根本的提高。
課程大綱
01數項級數
級數是數學分析三大組成部分之一，是逼近理論的基礎，是研究函式、進行近似計算的一種有用的工具. 級數理論的主要內容是研究級數的收斂性以及級數的套用.
課時
第一講 級數收斂的概念
第二講 收斂級數的性質1
第三講 收斂級數的性質與例子
第四講 正項級數的概念，比較判別法
第五講 比較判別法的極限形式
第六講 正項級數的比式判別法
第七講 根式判別法
第八講 積分判別法
第九講 拉貝判別法
第十講 習題課一
第十一講 交錯級數，絕對收斂
第十二講 絕對收斂級數的性質-級數的重排
第十三講 絕對收斂級數的性質-級數的乘積
第十五講 習題課二
02函式列與函式項級數
函式項級數的收斂性要比數項級數複雜得多，特別是有關一致收斂的內容就更為豐富，它在理論和套用上有著重要的地位.
課時
第一講 函式列的概念
第二講 函式列的一致收斂性，柯西準則
第三講 餘項準則，一致收斂的例
第四講 函式項級數的一致收斂性
第五講 函式項級數一致收斂判別法
第六講 一致收斂級數例題
第七講 習題課一
第八講 一致收斂函式列的性質1
第九講 一致收斂函式列的性質2
第十講 一致收斂函式項級數的性質
第十一講 習題課二
03冪級數
冪級數在級數理論中有著特殊的地位, 在函式逼近和近似計算中有重要套用, 特別是函式的冪級數展開為研究非初等函式提供了有力的工具.
課時
第一講 冪級數的收斂區間1
第二講 冪級數的收斂區間2
第三講 冪函式的性質
第四講 冪級數的運算
第五講 習題課一
第六講 泰勒級數
第七講 初等函式的冪級數展開式1
第八講 初等函式的冪級數展開式2
第九講 冪級數展開的例
第十講 習題課二
第十一講 復變數的指數函式，歐拉公式
04傅立葉級數
傅立葉級數在數學、物理學和工程技術中都有著非常廣泛的套用, 是又一類重要的級數.
課時
第一講 三角級數，正交函式系
第二講 以2π為周期函式的傅立葉級數
第三講 收斂定理
第四講 傅立葉展開的例
第五講 以2l為周期的函式的傅立葉級數
第六講 偶函式與奇函式的傅立葉級數
第七講 例
第八講 收斂定理的證明——預備定理1
第九講 收斂定理的證明——預備定理2
第十講 收斂定理的證明
參考教材
“數學分析”線上課程以華東師大數學系編寫的《數學分析》為教材，配合《數學分析學習指導書》
1.《數學分析（第四版）》 華東師範大學數學系 高等教育出版社
2.《微積分學教程》 菲赫金哥爾茨 人民教育出版社
3.《數學分析》 北大數學系方企勤、沈燮昌、廖可人等 高等教育出版社
4.《數學分析》 李成章 黃玉民 科學出版社
5. 《數學分析》 陳紀修等 高等教育出版社
6. 《數學分析學習指導書》 毛羽輝 韓士安 吳畏 高等教育出版社
