數學分析（第二版）(2020年高等教育出版社出版的教材)

《數學分析（第二版）》是梅加強編著，高等教育出版社2020年出版的教材。該教材可作為綜合性大學數學類專業數學分析課程的教材或教學參考書，適用於國家理科基地班的微積分教學，還可供科技工作者參考。

全書共分十五章，前五章討論一元微積分，第六章討論黎曼積分及其推廣，第七章至第九章介紹各種級數理論，第十章起是多元微積分的內容。

基本介紹

• 書名：數學分析（第二版）
• 作者：梅加強
• 出版社：高等教育出版社
• 出版時間：2020年6月30日
• 頁數：540 頁
• 開本：16 開
• 裝幀：平裝
• ISBN：9787040533446
• 版面字數：830千字

成書過程

《數學分析（第二版）》是在《數學分析（第一版）》的基礎上修訂而成，主要修訂的內容有：第一章進行了全面改寫。從求和談起，逐漸引入積分問題。第二章變化不大，對實數系基本性質的證明次序做了調整， Baire綱定理移到第十章中進行了統一處理。第三章對連續函式的積分給出了新的處理方法，強調了積分與求和之間的聯繫，求和與求平均值之間的聯繫。利用積分給出了Young不等式以及Hölder不等式的證明。第四章中，給出了Newton-Leibniz公式的證明，緊接著就討論積分的計算，不再重點介紹不定積分。第五章中，對於凸函式引進了支撐線的概念，在函式作圖中增加了簡單的曲線作圖，在進一步的套用舉例中，調整了Stirling公式的證明。第六章是由第一版第六章和第七章合併最佳化而來的。在Riemann積分的基本性質中，強調了階梯逼近和分段線性逼近的思想，重新處理了分部積分和積分第二中值定理。在積分的幾何套用中，介紹了等周不等式。第七章注重無窮級數和廣義積分之間的聯繫，由此可以統一處理許多結果，並將無窮乘積單獨成節。第八章考慮了廣義積分與求極限次序的可交換性。第九章利用分段線性逼近的思想給出了Parseval等式的簡單證明。在進一步的討論中還給出了周期的Hölder函式的Fourier級數的一致收斂性。第十章關於度量空間的內容做了調整，介紹了壓縮映射原理和Baire綱定理在研究處處連續但無處可導函式方面的套用。第十一章增加了Lagrange乘數法的幾何解釋，在補充材料中還介紹了一般歐氏空間中的外積運算。第十二章和第十三章的內容僅做了一些微調。第十四章關於微分形式的內容做了較大的改寫，強調了場的觀念，增加了微分形式與線性代數之間的聯繫。在Gauss-Green公式的套用中增加了Brouwer不動點定理和毛球定理。第十五章關於含參變數積分性質的證明做了最佳化。對於Gamma函式，還給出了Stir-ling漸近公式的簡單證明。在Fourier分析的套用中，介紹了處理Weierstrass函式的新方法，並且討論了Riemann-Zeta函式。

《數學分析（第二版）》全書共十五章，分三個學期講授時每學期安排五章可以講完。除了正文內容之外，書中習題也做了部分更新和調整，去掉了原少數習題前的星號標記。

該書在修訂過程中得到了江蘇省“青藍工程”和南京大學的資助。

內容簡介

全書共分十五章，前五章討論一元微積分，引入了連續函式的積分並得到微積分基本公式，進而討論了積分在經典不等式證明方面的套用；第六章討論黎曼積分及其推廣，特點是與數列的極限理論對比發展，並且引入了零測集的概念，以刻畫可積函式；第七章至第九章介紹各種級數理論，除了對級數理論中的各種判別法做了處理外，還安排了若干重要的套用，包括在近似計算和數論方面的套用；第十章起是多元微積分的內容，特點是使用線性代數的語言來處理多元微分學中的重要結果（包括中值定理、反函式定理、拉格朗日乘數法等），以及處理積分學中的重要結果（如可積性的刻畫、變數替換公式、各種積分之間的關係等）。

教材目錄

前輔文 第一章 引言 1.1 從求和談起 1.2 比較與估計 1.3 邏輯與證明 1.4 附錄：實數系的構造 第二章 極限 2.1 數列極限 2.1.1 數列極限的定義 2.1.2 數列極限的基本性質 2.2 單調數列的極限 2.3 Cauchy準則 2.4 Stolz公式 2.5 實數系的基本性質 第三章 連續函式 3.1 函式的極限 3.1.1 定義和基本性質 3.1.2 重要的函式極限 3.1.3 進一步的例子和性質 3.2 無窮小（大）量 3.3 連續函式 3.3.1 定義和基本性質 3.3.2 間斷點和振幅 3.4 連續函式的整體性質 3.4.1 最值定理和介值定理 3.4.2 一致連續性 3.5 連續函式的積分 3.5.1 積分的定義和基本性質 3.5.2 積分的計算 3.5.3 積分的套用 第四章 微積分基本公式 4.1 導數和微分 4.1.1 導數和高階導數 4.1.2 微分和全微分 4.2 Newton-Leibniz公式 4.3 積分的計算方法 4.3.1 分部積分法 4.3.2 換元積分法 4.3.3 有理函式的積分 4.3.4 有理三角函式的積分 4.3.5 某些無理函式的積分 4.4 簡單的微分方程 第五章 微分學的套用 5.1 函式的極值 5.2 微分中值定理 5.3 凸函式 5.4 函式和曲線作圖 5.5 L’Hospital法則 5.6 Taylor展開 5.7 進一步套用舉例 5.7.1 Jensen不等式的餘項 5.7.2 Newton方法 5.7.3 Stirling公式 5.7.4 積分的近似計算 第六章 積分的推廣和套用 6.1 Riemann積分 6.2 Riemann積分的性質 6.3 廣義積分 6.4 廣義積分的收斂判別法 6.5 積分的幾何套用 6.5.1 曲線的長度 6.5.2 簡單圖形的面積 6.5.3 簡單立體的體積 6.6 進一步的例子 第七章 數項級數 7.1 級數的收斂與發散 7.2 正項級數的斂散性 7.3 無窮乘積 7.4 數項級數的進一步討論 7.4.1 級數的乘積 7.4.2 Abel求和與Cesàro求和 7.4.3 級數的重排 7.4.4 級數求和與求極限的可交換性 第八章 函式項級數 8.1 一致收斂 8.2 求和與求導、積分的可交換性 8.3 冪級數

8.3.1 收斂半徑及基本性質 8.3.2 Taylor展開與冪級數 8.3.3 冪級數的乘法和除法運算 8.3.4 母函式方法 8.4 函式項級數的進一步討論 8.4.1 近似計算 8.4.2 用級數構造函式 第九章 Fourier分析 9.1 Fourier級數 9.2 Fourier級數的收斂性 9.3 Parseval恆等式 9.4 Fourier級數的進一步討論 9.4.1 平均收斂性 9.4.2 一致收斂性 9.4.3 Fourier係數的唯一性 9.4.4 Fourier級數的複數表示 9.4.5 Fourier積分初步 第十章 度量空間和連續映射 10.1 內積和度量 10.2 極限和連續性 10.3 最值定理與介值定理 10.4 完備性及其套用 第十一章 多元函式的微分 11.1 方嚮導數和微分 11.2 切線和切面 11.3 鏈式法則 11.4 擬微分中值定理 11.5 逆映射定理和隱映射定理 11.6 多元函式的極值 11.7 Lagrange乘數法 11.8 多元函式微分的補充材料 11.8.1 外積運算 11.8.2 二次型與極值 11.8.3 函式的相關性和獨立性 第十二章 多元函式的積分 12.1 二重Riemann積分 12.2 多重積分及其基本性質 12.3 重積分的計算 12.4 重積分的變數替換 12.4.1 仿射變換 12.4.2 一般的變數替換 12.4.3 極坐標變換 12.5 重積分的套用和推廣 第十三章 曲線積分與曲面積分 13.1 第一型曲線積分 13.2 第二型曲線積分 13.3 第一型曲面積分 13.4 第二型曲面積分 13.5 幾類積分之間的聯繫 13.5.1 余面積公式 13.5.2 Green公式 13.5.3 Gauss公式 13.5.4 Stokes公式 13.6 附錄：Riemann-Stieltjes積分 13.6.1 有界變差函式 13.6.2 Riemann-Stieltjes積分 第十四章 微分形式的積分 14.1 歐氏空間中的微分形式 14.2 微分形式之間的運算 14.3 Gauss-Green公式 14.4 不動點定理和毛球定理 第十五章 含參變數的積分 15.1 含參變數的積分 15.2 含參變數的廣義積分 15.2.1 一致收斂及其判別法 15.2.2 一致收斂積分的性質 15.3 特殊函式 15.3.1 β函式的基本性質 15.3.2 Γ函式的基本性質 15.3.3 進一步的性質 15.3.4 Stirling公式 15.4 Fourier變換回顧 15.5 補充材料 15.5.1 積分次序的可交換性 15.5.2 Fourier分析的相關套用 參考文獻 索引

（註：目錄排版順序為從左列至右列）

教學資源

• 課程資源

《數學分析（第二版）》有配套的數字課程，課程包含自測題、拓展閱讀類數字資源。

課程名稱	出版社	出版時間	內容提供者
“數學分析（第二版）”數字課程	高等教育出版社、高等教育電子音像出版社	2020年6月	梅加強

教材特色

該書在內容的編排上展現了微積分發展各階段的重要成果，並適當地採用現代數學的思想方法和觀點處理經典的分析問題。

該書包含基礎部分和一部分帶有星號的定理和例題內容，該可作為選講內容。較難的習題也加上了星號標記，並對其中少量習題給出了提示。除此之外，一些章節還有附錄等補充材料。

作者簡介

梅加強，南京大學數學系副系主任、副教授。博士畢業於中國科學技術大學數學系，長期從事分析學和幾何學教學工作，主要從事黎曼幾何研究，先後主持國家自然科學基金青年基金項目和面上基金項目，研究極小曲面、非負曲率空間等。