正交系(正交函式系)

正交系

正交函式系一般指本詞條

正交系是互相正交的函式系的簡稱,用於微分方程、積分方程、計算方法等數學領域。

基本介紹

  • 中文名:正交系
  • 外文名:orthogonal set
  • 概念:互相正交的函式系
  • 別稱:正交函式系
  • 套用:微分方程、積分方程、計算方法等
定義,相關定理,定理1,定理2,定理3,定理4,定理5,定理6,定理7,定理8,定理9,

定義

內積空間H的一些非零元素構成的子集,若M中任何兩個不同元素都正交,則稱M為H中的一個正交系,進一步,若在正交系M中每個元笑重旬素的範數均為1,則稱M為H的一個標準正交系。
例1
中,
是一個標準正交系。
例樂格晚2 在空間
中,命
由於
因此
是一個標準正交基。

相關定理

已知線上性代數中,對於一組線性無關向宙趨鴉淚量可用格雷姆一休密特(Gram—Schmidt)正交化程式構造出標準正交向量組,在內積空間中則有下述的定理。

定理1

(格雷姆一休密特屑鞏埋正交化程式)設H是內積空間,
是H中的線性無關子集,則存在標準正交系
,使得對每一個自然循漏提數n,有:

定理2

內積空間H中的有限維子空間M是閉子空間。

定理3

是希爾伯特空間H中的一個標準正交系,令
,如果P是H到M上的正交投夜櫃背兆影運算元,則對於任意的
,有

定理4

是希爾伯特空間H的標準正交系,
是實(或復)數點列,那么級數
在H中收斂,若且唯若
。進而還有

定理5

[貝塞爾(Bessel)不等式]設
希爾伯特空間H中的標準正交系,則對於任意的x∈H和n∈N,有
進一步
而且
在H中收斂

定理6

內積空間H中的一個標準正交系,則
完備的,當僅當
張成的子空間L在H中稠密。

定理7

設H是希爾伯特空間,
是H中的標準正交系,則
是完備踏棵的,若且唯若
是完全的。
在一般的希爾伯特空間中,標準正交甚有下述等價刻畫。

定理8

為希爾們特空間H中的標準正交系,則下述一些條件等價:
(1)S是H的完全標準正交系;
(2)
(此條件滿足時稱S為完備的);
(3)
(4)對於任意的
(5)對於任意的
,巴塞伐爾等式成立,即
(6)對於任意

定理9

設H是希爾伯特空問,則下述兩條等價:
(1)H是可分的;
(2)H有一個至多可數的完全標準正交系。

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