換位子群

在抽象代數中，一個群的換位子群或導群，是指由這個群的所有交換子所生成的子群，記作[G,G]、G′或G(1) 。每個群都對應著一個確定的交換子群。在一個群G的所有正規子群中，交換子群G′是使得G對它的商群為交換群的最小子群。在某種意義上，交換子群提供了群G的可交換程度。因為從交換子的定義:，如果x與y交換，那么[x,y]=e。一個群內可交換的元素越多，交換子就越少，交換子群也就越小。可交換群的交換子群為平凡群{e}。

基本介紹

• 中文名：換位子群
• 套用：抽象代數

定義

給定一個群G，G的交換子群或導群： [G,G]、G′或G是G的所有交換子所生成的子群：

類似地可以定義高階的導群。

，其中n是整數。

可以證明，如果存在自然數 n 使得

那么G是可解群。

商群G/[G,G]是一個阿貝爾群，叫做G的阿貝爾化子群，通常記作G。G的阿貝爾化子群就是G的一階同調群。

[G,G]=G的群叫做完美群，這是與阿貝爾群相對的概念。完美群的阿貝爾化子群是單位群{e}。

性質

1. G'是G的正規子群。
2. G對於自同構穩定:。
3. 是一個滿同態，那么。
4. 如果H是G的正規子群，那么G/H是交換群，當且僅G'當屬於H'。
5. 可交換。

套用

• 4次交替群的交換子群是克萊因四元群。
• n次對稱群的交換子群是n次交替群。
• 四元群Q= {1, −1,i, −i,j, −j,k, −k} 的交換子群是 {1, −1}。