微分結式理論及其在微分方程求解中的套用

《微分結式理論及其在微分方程求解中的套用》是依託北方工業大學，由張智勇擔任項目負責人的青年科學基金項目。

基本介紹

• 中文名：微分結式理論及其在微分方程求解中的套用
• 項目類別：青年科學基金項目
• 項目負責人：張智勇
• 依託單位：北方工業大學

項目摘要

隨著對稱群理論和方法在微分方程(組)求解中的廣泛套用，人們需要更加深入系統地分析和把握對稱的性質，特別是關於偏微分方程(組)(簡記PDEs)對稱存在性的判定及分類問題。本項目旨在發展微分結式理論和微分特徵列方法，研究PDEs對稱的判定和完全對稱分類的機械化算法和理論。探討微分結式的性質和計算微分結式的高效算法，利用微分結式和微分多項式系統之間的關係解決PDEs對稱的判定問題。針對現有對稱分類算法的缺陷和難點，將微分結式理論與特徵列方法結合，探索適合於更廣泛PDEs對稱分類的機械化算法。利用上述理論和算法，研究金融領域中一類非線性PDEs對稱的判定和完全分類問題，並討論分類結果中一些重要模型的求解及套用。項目的實施，將豐富微分結式理論和發展微分特徵列方法，並為PDEs對稱的判定和分類問題提供一個新的解決途徑。

結題摘要

對稱群理論是研究偏微分方程組（簡記PDEs）性質、構造PDEs精確解和守恆律的一個重要手段。對稱群的獲得，即一個超定偏微分多項式系統的求解問題，是困擾對稱群理論發展的主要障礙之一。 本項目以微分結式和微分特徵列理論和算法為基礎，在已有前期對稱計算方法的研究基礎上，研究了PDEs對稱分類和對稱存在性的判定問題，並拓廣理論方法在數學物理等領域中重要PDEs上的套用範圍，取得良好的學術成果，發表SCI檢索論文9篇，主要研究成果如下：初步建立特殊情形下的偏微分多項式系統的微分結式理論，完善稀疏差分結式的理論和算法，並將算法在計算機上實現；完善擾動PDEs近似自伴隨性的相關理論和算法，並將其套用到擾動PDEs近似守恆律的構造問題中；證明PDEs非線性自伴隨性所需的微分替換即為PDEs所允許的伴隨對稱，並研究守恆律乘子的存在性問題，同時研究幾類PDEs對稱分類、守恆律構造及精確解構造問題。 本項目是數學機械化與數學物理的交叉項目。項目的實施，將為PDEs對稱判定和分類問題提供一個新的解決途徑，同時促進微分結式理論和微分特徵列方法在PDEs中的套用。項目研究內容、方法、思路和成果都具有一定的學科前沿性和原創性。