基本介紹
- 中文名：常微分方程解析理論
- 外文名：analytical theory of ordinary differential equation
- 套用：研究微分方程的性狀
- 方程定義：解析函式
- 性質的理論：並直接從微分方程本身研究解
簡介,解的存在性和惟一性定理,奇點,線性常微分方程,勒讓德方程,非線性微分方程,奈望林納理論的套用,
簡介
這是基於A.-L.柯西的基本定理，即在對微分方程作極為廣泛的假設下，它的積分是復變數的解析函式。常微分方程解析理論與複變函數理論的發展密切相關。它的先驅性工作是由柯西、黎曼、富克斯、龐加萊以及班勒衛等人所作。
解的存在性和惟一性定理
微分方程理論中最基本的問題是已給的方程是否有解，早先的數學家們力圖通過已知初等函式的有限組合來表示微分方程的解，但在這個觀念下大多數微分方程不可積。這實際上是要求方程的大範圍通解，是不合適的，因為典型的分析運算與極限過程只要求局部的觀點。另一方面，在物理和力學中的問題常是只要求適合某些補充條件的特解。
在復域中通常套用冪級數展開式給出惟一的形式解，然後用與某個已知的收斂冪級數相比較的方法（優函式方法）給出形式解的收斂性證明，從而完成存在性和惟一性定理的證明。
奇點
微分方程的解出現的奇點較解析函式論中的情況要複雜得多。首先當自變數圍繞某些點轉一圈以後，函式從一個值變為另一個值，稱這些點為分支點。代數函式可能具有的奇點稱為代數奇點。
富克斯還對微分方程解的奇點提出一種重要的區分，即分為固定奇點和流動奇點。前一種由微分方程本身給出其位置和性質，與方程的個別解無關，也即與通解中所含的任意常數無關。後者則依賴於柯西問題的初始值，也就是依賴於特解的選擇，它與任意常數一起變動。例如方程的解以整數和無窮遠點為固定奇點（極點）；和分別有解為和此時 с 分別是流動代數分支點，流動對數分支點和流動本性奇點。
線性常微分方程
一類很重要的常微分方程，未知函式的最高階導數是較低階導數的線性函式，一般可寫成如果右端恆為零，則稱為齊次線性微分方程。如果知道了齊次方程的通解，則能通過參數變動法（或稱常數變易法，見初等常微分方程）得到非齊次方程的解。因此線性方程的中心問題是研究齊次方程，而 n 階齊次線性方程的通解能由 n 個線性獨立的特解線性地表示出來。這個基本性質大大簡化了對線性方程的研究。此外，在力學和電路理論中有關振動問題常化歸為二階線性方程，純粹數學中的許多完美思想也是從這類方程的研究中產生，而且常常能展現出 n 階線性方程的許多性質。所以大量的工作是關於二階線性方程的。
勒讓德方程
(Legendre equation)
連帶勒讓德方的特殊情形。在球坐標系下將球函式方程分離變數時，可出現連帶勒讓德方程。即：
當
，即軸對稱時，勒讓德方程為：
或：
非線性微分方程
由於許多物理系統是非線性的，從而描述它們的微分方程也是非線性的，即未知函式或其導數非線性地出現於方程之中。對於非線性方程一般性質的了解不像線性方程那樣完備和深入，而是知道得很少，而且它具有線性方程理論中所未見的新現象。
奈望林納理論的套用
20世紀20年代芬蘭數學家R.奈望林納創立了亞純函式值分布理論。不久日本數學家吉田耕作套用此理論於一類非線性常微分方程的研究。50年代H.維蒂希更系統地研究了奈望林納理論對常微分方程理論的意義，使得這一理論成為研究一類方程解的某些大範圍性質（解的增長性，值分布性質，因子分解等）的重要工具。
1933～1934年吉田耕作套用奈望林納理論給出定理一個漂亮的證明，並且大大推進了結果。
此外，對於代數微分方程亦有相應的結果，中國數學工作者對相當廣泛的高階代數微分方程存在“較快”增長的代數體函式解的必要條件亦得到精確形式的馬爾姆奎斯特型定理。近年來奈望林納理論還被用來研究常微分方程復振盪理論、解的增長性估計和解的因子分解等。
