基本介紹
- 中文名：廣義黎曼猜想
- 提出者：黎曼
- 提出時間：1859年
- 套用學科：數學
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分析
在數學中我們碰到過許多函式，最常見的是多項式和三角函式。多項式的零點也就是代數方程 ζ(s)=0的根。根據代數基本定理，n次代數方程有n個根，它們可以是實根也可以是復根。因此，多項式函式有兩種表示方法，即
當s為大於1的實數時，n 為收斂的無窮級數，歐拉仿照多項式情形把它表示為乘積的情形，這時是無窮乘積，而且也不是零點的形式：
但是，這樣的用處不大，黎曼把它開拓到整個複數平面，成為復變數s就包含非常多的信息。正如多項式的情形一樣，函式的信息大部分包含在其零點的信息當中，因此， 的零點就成為大家關心的頭等大事。 有兩類零點，一類是s=-2，-4，…-2n，…時的實零點，稱為平凡零點；一類是復零點。黎曼猜想就是講，這些復零點的實部都是，也就是所有復零點都在 這條直線（後稱為臨界線）上。
這個看起來簡單的問題並不容易。從歷史上看，求多項式的的零點特別是求代數方程的復根都不是簡單的問題。一個特殊函式的零點也不太容易找到。在85年前，哈代首先證明這條臨界線上有無窮多個零點。10年前我們知道有2/5的復零點都在這條線上，而且這條線外至今也沒有發現復零點，因此，黎曼猜想是對是錯還在未定之中。
黎曼ζ 函式
黎曼在1858年寫的一篇只長8頁關於素數分布的論文，就在這論文裡他提出了有名的黎曼猜想（Riemanns Hypoth-esis）。這猜想提出已有一百多年了，許多有名的數學家曾嘗試去證明，就像喜歡爬山的人希望能爬上珠穆朗瑪峰一樣——因為到達它的頂峰非常困難，目前已有人登上這世界高峰，可是卻沒有人能證明這猜想！那么這個讓上帝如此吝嗇的黎曼猜想究竟是一個什麼樣的猜想呢？
在回答這個問題之前我們先得介紹一個函式：
黎曼ζ 函式。這個函式雖然掛著黎曼的大名，其實並不是黎曼首先提出的。但黎曼雖然不是這一函式的提出者， 他的工作卻大大加深了人們對這一函式的理解，為其在數學與物理上的廣泛套用奠定了基礎。後人為了紀念黎曼的卓越貢獻，就用他的名字命名了這一函式。
那么究竟什麼是黎曼ζ 函式呢？黎曼ζ 函式 ζ(s) 是級數表達式 (n 為正整數) ζ(s) = ∑n n^-s (Re(s) > 1) 在複平面上的解析延拓。 之所以要對這一表達式進行解析延拓， 是因為 - 如我們已經註明的 - 這一表達式只適用於複平面上 s 的實部 Re(s) > 1 的區域 (否則級數不收斂)。黎曼找到了這一表達式的解析延拓 (當然黎曼沒有使用 “解析延拓” 這樣的現代複變函數論術語)。 運用路徑積分， 解析延拓後的黎曼ζ 函式可以表示為：
這裡我們採用的是歷史文獻中的記號， 式中的積分實際是一個環繞正實軸 (即從 +∞ 出發， 沿實軸上方積分至原點附近， 環繞原點積分至實軸下方， 再沿實軸下方積分至 +∞ - 離實軸的距離及環繞原點的半徑均趨於 0) 進行的圍道積分； 式中的 Γ 函式 Γ(s) 是階乘函式在複平面上的推廣， 對於正整數 s>1： Γ(s)=(s-1)!。 可以證明， 這一積分表達式除了在 s=1 處有一個簡單極點外在整個複平面上解析。 這就是黎曼ζ 函式的完整定義。運用上面的積分表達式可以證明，黎曼ζ 函式滿足以下代數關係式：
ζ(s) = 2Γ(1-s)(2π)s-1sin(πs/2)ζ(1-s) 從這個關係式中不難發現，黎曼ζ 函式在 s=-2n (n 為正整數) 取值為零 - 因為 sin(πs/2) 為零[注三]。 複平面上的這種使黎曼ζ 函式取值為零的點被稱為黎曼ζ 函式的零點。 因此 s=-2n (n 為正整數) 是黎曼ζ 函式的零點。 這些零點分布有序、 性質簡單， 被稱為黎曼ζ 函式的平凡零點 (trivial zeros)。 除了這些平凡零點外，黎曼ζ 函式還有許多其它零點， 它們的性質遠比那些平凡零點來得複雜， 被稱為非平凡零點 (non-trivial zeros) 。
黎曼猜想
黎曼ζ 函式的所有非平凡零點都位於複平面上 Re(s)=1/2 的直線上。在黎曼猜想的研究中， 數學家們把複平面上Re(s)=1/2的直線稱為“critical line”。運用這一術語，黎曼猜想也可以表述為：黎曼ζ 函式的所有非平凡零點都位於critical line上。這就是黎曼猜想的內容，它是黎曼在 1859 年提出的。從其表述上看，黎曼猜想似乎是一個純粹的複變函數命題，但我們很快將會看到，它其實卻是一曲有關素數分布的神秘樂章。
證明成果
哈地證明（哈代斗上帝）
哈代是一個“板球（Cricket）迷”，每年夏天要等到板球季節過了，才會跑到歐陸度假，拜訪他的幾個好朋友與他們一起討論研究數學。
每次到丹麥就會見他的好朋友波爾（Harald Bohr），他們坐下來，先在一張紙上寫上先要解決和討論的一些議程，然後討論一個小時後才一起出去散步。每一次見面時哈地在議程的第一條往往寫上：“證明黎曼假設！”
可是這個提議卻一直沒法子解決，一直到夏假結束他必須回去英國教書才作罷。第二年的夏天他回來丹麥又像前一年那樣，兩人每天把解決黎曼假設擺在議程的最前面，但是每次都不能解決。
有一年的夏末，哈代要乘船渡北海回英國，那天浪濤洶湧天氣很惡劣，而船又很小，因此他在船開之前就寫了一張明信片寄給波爾，在上面簡單的寫下這幾個字：“我已經證明了黎曼假設。哈代。”
他是否真的證明了，要把這個好訊息告訴他的好友呢？原來這明信片是有用意的：萬一這船沉下去，哈地溺死了，世人就會認為哈地真的解決這個世界上的數學難題，而為這個解法及哈地一起埋在海底而惋惜。但是上帝既然是哈地的仇人，一定不會讓哈代享有解決這個著名難題的聲譽，因此本來這船該沉下去，它也設法不讓它沉，於是哈地可以平安回到英國。這樣這個明信片就是他的救命護身符了。
你看了或許會笑，以為我們的哈代教授是這樣幼稚可笑的人物，是的，有一些數學家他們想法和做事的天真幼稚就像6歲的兒童。可是他們研究的東西卻深入和奧妙，不是普通人所能了解的。哈代逝世距現在已四十多年，但是他遺留下來的工作，許多是那么的艱深和難於明白，普通大學數學系畢業生也不是很容易就能領會。
近年研究成果
荷蘭三位數學家J．van de Lune，H．J．Riele te及D．T．Winter利用電子計算機來檢驗黎曼的假設，他們對最初的二億個齊打函式的零點檢驗，證明黎曼的假設是對的，他們在1981年宣布他們的結果，目前他們還繼續用電子計算機檢驗底下的一些零點。
1975年美國麻省理工學院的萊文森在他患癌症去世前證明了N0(T) ≥ 0.3474 N(T)。
意義
這個簡單的特殊函式在數學上有重大意義，正因為如此，黎曼猜想總是被當成數一數二的重要猜想。在這個猜想上稍有突破，就有不少重大成果。200年前高斯提出的素數定理就是在100年前由於黎曼猜想的一個重大突破而證明的。當時只是證明復零點都在臨界線附近，如果黎曼猜想被完全證明，整個解析數論將取得全面進展。
更重要的是，在代數數論、代數幾何、微分幾何、動力系統理論等學科中都引入各種 函式和它們的推廣L函式，它們各有相應的“黎曼猜想”，其中有的黎曼猜想已經得到證明，使得該分支獲得突破性的進展。可以構想，黎曼猜想及其各種推廣是21世紀的中心的問題之一。
黎曼
黎曼，G．F．B（Riemann，Georg Friedrich Bernhard）1826年9月17日生於德國漢若威的布雷斯塞論茨；1866年7月20日卒於義大利塞拉斯卡。黎曼是對現代數學影響最大的數學家之一，我們從他當時的數學水平來看，他作為偉大的分析學家，其成就可以分為八個領域來論述。前4個領域是關於複分析方面的，他第一個有意識的將實域過渡到復域，開創了複變函數域，代數函式論，常微分方程解析理論及解析數論諸方向；後4個領域主要涉及實分析，在積分理論，三角級理論，微分幾何學，數學物理方程等方面取得重大突破。重要的是一個多世紀之前的成就卻直接同現代數學中的拓撲方法，一般流形概念，聯繫拓撲與分析的黎曼－洛赫定理，代數幾何學特別是阿貝爾簇以及參模等緊密相連，他的空間觀念及黎曼幾何更預示著廣義相對論，正是他促發了現代數學的革命性變革。
