定義
樹(tree)是包含n(n>=0)個結點的有窮集,其中:
(1)每個元素稱為結點(node);
(2)有一個特定的結點被稱為根結點或樹根(root)。
(3)除根結點之外的其餘數據元素被分為m(m≥0)個互不相交的集合T1,T2,……Tm-1,其中每一個集合Ti(1<=i<=m)本身也是一棵樹,被稱作原樹的子樹(subtree)。
樹也可以這樣定義:樹是由根結點和若干顆子樹構成的。樹是由一個集合以及在該集合上定義的一種關係構成的。集合中的元素稱為樹的結點,所定義的關係稱為父子關係。父子關係在樹的結點之間建立了一個層次結構。在這種層次結構中有一個結點具有特殊的地位,這個結點稱為該樹的根結點,或稱為樹根。
單個結點是一棵樹,樹根就是該結點本身。
設T1,T2,..,Tk是樹,它們的根結點分別為n1,n2,..,nk。用一個新結點n作為n1,n2,..,nk的父親,則得到一棵新樹,結點n就是新樹的根。我們稱n1,n2,..,nk為一組兄弟結點,它們都是結點n的子結點。我們還稱T1,T2,..,Tk為結點n的子樹。
空集合也是樹,稱為空樹。空樹中沒有結點。
相關術語
節點的度:一個節點含有的子樹的個數稱為該節點的度;
葉節點或終端節點:度為0的節點稱為葉節點;
非終端節點或分支節點:度不為0的節點;
雙親節點或父節點:若一個節點含有子節點,則這個節點稱為其子節點的父節點;
孩子節點或子節點:一個節點含有的子樹的根節點稱為該節點的子節點;
兄弟節點:具有相同父節點的節點互稱為兄弟節點;
樹的度:一棵樹中,最大的節點的度稱為樹的度;
節點的層次:從根開始定義起,根為第1層,根的子節點為第2層,以此類推;
樹的高度或深度:樹中節點的最大層次;
堂兄弟節點:雙親在同一層的節點互為堂兄弟;
節點的祖先:從根到該節點所經分支上的所有節點;
子孫:以某節點為根的子樹中任一節點都稱為該節點的子孫。
森林:由m(m>=0)棵互不相交的樹的集合稱為森林;
種類
無序樹:樹中任意節點的子結點之間沒有順序關係,這種樹稱為無序樹,也稱為自由樹;
有序樹:樹中任意節點的子結點之間有順序關係,這種樹稱為有序樹;
二叉樹:每個節點最多含有兩個子樹的樹稱為二叉樹;
霍夫曼樹:帶權路徑最短的二叉樹稱為哈夫曼樹或最優二叉樹;
深度
定義一棵樹的根結點層次為1,其他節點的層次是其父結點層次加1。一棵樹中所有結點的層次的最大值稱為這棵樹的深度。
表示方法
圖像表達法
樹的表示方法有很多種,最常用的是圖像表示法。
符號表達法
用括弧先將根結點放入一對圓括弧中,然後把它的子樹由左至右的順序放入括弧中,而對子樹也採用同樣的方法處理;同層子樹與它的根結點用圓括弧括起來,同層子樹之間用逗號隔開,最後用閉括弧括起來。如前文樹形表示法可以表示為:(1(2(5(9,10)),3(6,7),4(8)))
遍歷表達法
遍歷表達法有3種方法:先序遍歷、中序遍歷、後序遍歷
例如右圖:
其先序遍歷為ABDECF
其中序遍歷為DBEAFC
其後序遍歷為DEBFCA
具體請參照參考資料
其他
關於二叉樹的其他知識請參照參考資料。
父節點表示法
存儲結構
/* 樹節點的定義 */#define MAX_TREE_SIZE 100typedef struct{ TElemType data; int parent; /* 父節點位置域 */} PTNode;typedef struct{ PTNode nodes[MAX_TREE_SIZE]; int n; /* 節點數 */} PTree;
基本操作
設已有鏈佇列類型LinkQueue的定義及基本操作(參見
佇列)。
構造空樹
清空或銷毀一個樹也是同樣的操作
void ClearTree(PTree *T){ T->n = 0;}
構造樹
void CreateTree(PTree *T){ LinkQueue q; QElemType p,qq; int i=1,j,l; char c[MAX_TREE_SIZE]; /* 臨時存放孩子節點數組 */ InitQueue(&q); /* 初始化佇列 */ printf("請輸入根節點(字元型,空格為空): "); scanf("%c%*c",&T->nodes[0].data); /* 根節點序號為0,%*c吃掉回車符 */ if(T->nodes[0].data!=Nil) /* 非空樹 */ { T->nodes[0].parent=-1; /* 根節點無父節點 */ qq.name=T->nodes[0].data; qq.num=0; EnQueue(&q,qq); /* 入隊此節點 */ while(i<MAX_TREE_SIZE&&!QueueEmpty(q)) /* 數組未滿且隊不空 */ { DeQueue(&q,&qq); /* 節點加入佇列 */ printf("請按長幼順序輸入節點%c的所有孩子: ",qq.name); gets(c); l=strlen(c); for(j=0;j<l;j++){ T->nodes[i].data=c[j]; T->nodes[i].parent=qq.num; p.name=c[j]; p.num=i; EnQueue(&q,p); /* 入隊此節點 */ i++; } } if(i>MAX_TREE_SIZE){ printf("節點數超過數組容量\n"); exit(OVERFLOW); } T->n=i; } else T->n=0; }
判斷樹是否為空
Status TreeEmpty(PTree *T){ /* 初始條件:樹T存在。操作結果:若T為空樹,則返回TRUE,否則返回FALSE */ return T->n==0;}
獲取樹的深度
int TreeDepth(PTree *T){ /* 初始條件:樹T存在。操作結果:返回T的深度 */ int k,m,def,max=0; for(k=0;k<T->n;++k){ def=1; /* 初始化本節點的深度 */ m=T->nodes[k].parent; while(m!=-1){ m=T->nodes[m].parent; def++; } if(max<def) max=def; } return max; /* 最大深度 */}
獲取根節點TElemType Root(PTree *T){ /* 初始條件:樹T存在。操作結果:返回T的根 */ int i; for(i=0;i<T->n;i++) if(T->nodes[i].parent<0) return T->nodes[i].data; return Nil;}
獲取第i個節點的值
TElemType Value(PTree *T,int i){ /* 初始條件:樹T存在,i是樹T中節點的序號。操作結果:返回第i個節點的值 */ if(i<T->n) return T->nodes[i].data; else return Nil;}
改變節點的值
Status Assign(PTree *T,TElemType cur_e,TElemType value){ /* 初始條件:樹T存在,cur_e是樹T中節點的值。操作結果:改cur_e為value */ int j; for(j=0;j<T->n;j++) { if(T->nodes[j].data==cur_e) { T->nodes[j].data=value; return OK; } } return ERROR;}
獲取節點的父節點
TElemType Parent(PTree *T,TElemType cur_e){ /* 初始條件:樹T存在,cur_e是T中某個節點 */ /* 操作結果:若cur_e是T的非根節點,則返回它的父節點,否則函式值為"空"*/ int j; for(j=1;j<T->n;j++) /* 根節點序號為0 */ if(T->nodes[j].data==cur_e) return T->nodes[T->nodes[j].parent].data; return Nil;}
獲取節點的最左孩子節點
TElemType LeftChild(PTree *T,TElemType cur_e){ /* 初始條件:樹T存在,cur_e是T中某個節點 */ /* 操作結果:若cur_e是T的非葉子節點,則返回它的最左孩子,否則返回"空"*/ int i,j; for(i=0;i<T->n;i++) if(T->nodes[i].data==cur_e) /* 找到cur_e,其序號為i */ break; for(j=i+1;j<T->n;j++) /* 根據樹的構造函式,孩子的序號>其父節點的序號 */ if(T->nodes[j].parent==i) /* 根據樹的構造函式,最左孩子(長子)的序號<其它孩子的序號 */ return T->nodes[j].data; return Nil;}
獲取節點的右兄弟節點
TElemType RightSibling(PTree *T,TElemType cur_e){ /* 初始條件:樹T存在,cur_e是T中某個節點 */ /* 操作結果:若cur_e有右(下一個)兄弟,則返回它的右兄弟,否則返回"空"*/ int i; for(i=0;i<T->n;i++) if(T->nodes[i].data==cur_e) /* 找到cur_e,其序號為i */ break; if(T->nodes[i+1].parent==T->nodes[i].parent) /* 根據樹的構造函式,若cur_e有右兄弟的話則右兄弟緊接其後 */ return T->nodes[i+1].data; return Nil;}
輸出樹
void Print(PTree *T){ /* 輸出樹T。加 */ int i; printf("節點個數=%d\n",T->n); printf(" 節點 父節點\n"); for(i=0;i<T->n;i++) { printf(" %c",Value(T,i)); /* 節點 */ if(T->nodes[i].parent>=0) /* 有父節點 */ printf(" %c",Value(T,T->nodes[i].parent)); /* 父節點 */ printf("\n"); }}
向樹中插入另一棵樹
Status InsertChild(PTree *T,TElemType p,int i,PTree c){ /* 初始條件:樹T存在,p是T中某個節點,1≤i≤p所指節點的度+1,非空樹c與T不相交 */ /* 操作結果:插入c為T中p節點的第i棵子樹 */ int j,k,l,f=1,n=0; /* 設交換標誌f的初值為1,p的孩子數n的初值為0 */ PTNode t; if(!TreeEmpty(T)) /* T不空 */ { for(j=0;j<T->n;j++) /* 在T中找p的序號 */ if(T->nodes[j].data==p) /* p的序號為j */ break; l=j+1; /* 如果c是p的第1棵子樹,則插在j+1處 */ if(i>1) /* c不是p的第1棵子樹 */ { for(k=j+1;k<T->n;k++) /* 從j+1開始找p的前i-1個孩子 */ if(T->nodes[k].parent==j) /* 當前節點是p的孩子 */ { n++; /* 孩子數加1 */ if(n==i-1) /* 找到p的第i-1個孩子,其序號為k1 */ break; } l=k+1; /* c插在k+1處 */ } /* p的序號為j,c插在l處 */ if(l<T->n) /* 插入點l不在最後 */ for(k=T->n-1;k>=l;k--) /* 依次將序號l以後的節點向後移c.n個位置 */ { T->nodes[k+c.n]=T->nodes[k]; if(T->nodes[k].parent>=l) T->nodes[k+c.n].parent+=c.n; } for(k=0;k<c.n;k++) { T->nodes[l+k].data=c.nodes[k].data; /* 依次將樹c的所有節點插於此處 */ T->nodes[l+k].parent=c.nodes[k].parent+l; } T->nodes[l].parent=j; /* 樹c的根節點的父節點為p */ T->n+=c.n; /* 樹T的節點數加c.n個 */ while(f) { /* 從插入點之後,將節點仍按層序排列 */ f=0; /* 交換標誌置0 */ for(j=l;j<T->n-1;j++) if(T->nodes[j].parent>T->nodes[j+1].parent) {/* 如果節點j的父節點排在節點j+1的父節點之後(樹沒有按層序排列),交換兩節點*/ t=T->nodes[j]; T->nodes[j]=T->nodes[j+1]; T->nodes[j+1]=t; f=1; /* 交換標誌置1 */ for(k=j;k<T->n;k++) /* 改變父節點序號 */ if(T->nodes[k].parent==j) T->nodes[k].parent++; /* 父節點序號改為j+1 */ else if(T->nodes[k].parent==j+1) T->nodes[k].parent--; /* 父節點序號改為j */ } } return OK; } else /* 樹T不存在 */ return ERROR;}
刪除子樹
Status deleted[MAX_TREE_SIZE+1]; /* 刪除標誌數組(全局量) */void DeleteChild(PTree *T,TElemType p,int i){ /* 初始條件:樹T存在,p是T中某個節點,1≤i≤p所指節點的度 */ /* 操作結果:刪除T中節點p的第i棵子樹 */ int j,k,n=0; LinkQueue q; QElemType pq,qq; for(j=0;j<=T->n;j++) deleted[j]=0; /* 置初值為0(不刪除標記) */ pq.name='a'; /* 此成員不用 */ InitQueue(&q); /* 初始化佇列 */ for(j=0;j<T->n;j++) if(T->nodes[j].data==p) break; /* j為節點p的序號 */ for(k=j+1;k<T->n;k++) { if(T->nodes[k].parent==j) n++; if(n==i) break; /* k為p的第i棵子樹節點的序號 */ } if(k<T->n) /* p的第i棵子樹節點存在 */ { n=0; pq.num=k; deleted[k]=1; /* 置刪除標記 */ n++; EnQueue(&q,pq); while(!QueueEmpty(q)) { DeQueue(&q,&qq); for(j=qq.num+1;j<T->n;j++) if(T->nodes[j].parent==qq.num) { pq.num=j; deleted[j]=1; /* 置刪除標記 */ n++; EnQueue(&q,pq); } } for(j=0;j<T->n;j++) if(deleted[j]==1) { for(k=j+1;k<=T->n;k++) { deleted[k-1]=deleted[k]; T->nodes[k-1]=T->nodes[k]; if(T->nodes[k].parent>j) T->nodes[k-1].parent--; } j--; } T->n-=n; /* n為待刪除節點數 */ }}
層序遍歷樹
void TraverseTree(PTree *T,void(*Visit)(TElemType)){ /* 初始條件:二叉樹T存在,Visit是對節點操作的套用函式 */ /* 操作結果:層序遍歷樹T,對每個節點調用函式Visit一次且僅一次 */ int i; for(i=0;i<T->n;i++) Visit(T->nodes[i].data); printf("\n");}
孩子鍊表表示法
存儲結構
/*樹的孩子鍊表存儲表示*/typedef struct CTNode { // 孩子節點 int child; struct CTNode *next;} *ChildPtr;typedef struct { ElemType data; // 節點的數據元素 ChildPtr firstchild; // 孩子鍊表頭指針} CTBox;typedef struct { CTBox nodes[MAX_TREE_SIZE]; int n, r; // 節點數和根節點的位置} CTree;