尺規作圖問題

尺規作圖（Compass-and-straightedge 或 ruler-and-compass construction）問題是起源於古希臘的數學課題。只使用圓規和直尺，並且只準許使用有限次，來解決不同的平面幾何作圖題。不可能用尺規作圖完成的作圖問題，稱為尺規作圖不能問題，如三等分角問題、化圓為方問題等。

基本介紹

• 中文名：尺規作圖問題
• 外文名：problem of construction withruler and compass
• 相關知識：三角等分、化圓為方、倍立方問題
• 起源：古希臘數學課題

簡介

尺規作圖問題是起源於古希臘的數學課題，只使用圓規和直尺，並且只準許使用有限次，來解決不同的平面幾何作圖題。值得注意的是，以上的“直尺”和“圓規”是抽象意義的，跟現實中的並非完全相同，具體而言，有以下的限制：

（1）直尺必須沒有刻度，無限長，且只能使用直尺的固定一側。只可以用它來將兩個點連在一起，不可以在上畫刻度；

（2）圓規可以開至無限寬，但上面亦不能有刻度。它只可以拉開成你之前構造過的長度或一個任意的長度。

尺規作圖的研究，促成數學上多個領域的發展，許多數學結果就是為解決古希臘三大難題而得出的副產品，對尺規作圖的探索推動了對圓錐曲線的研究，並發現了一批著名的曲線。若干著名的尺規作圖已知是不可能的，而當中很多不可能的例子是利用了19世紀出現的伽羅瓦理論以證明。儘管如此，仍有很多業餘愛好者嘗試這些不可能的題目，當中以化圓為方及三等分任意角（Angle trisection）最受注意。

原理

以下是尺規作圖中可用的基本方法，也稱為作圖公法，任何尺規作圖的步驟均可分解為以下五種方法：

（1）通過兩個已知點可作一直線；

（2）已知圓心和半徑可作一個圓；

（3）若兩已知直線相交，可求其交點；

（4）若已知直線和一已知圓相交，可求其交點；

（5）若兩已知圓相交，可求其交點。

圖1.作圖公法

問題

古希臘三大難題

古希臘三大難題是早期希臘數學家特別感興趣的三個問題。由於我們的現代幾何學知識是從希臘發源的，因此這三個古典幾何問題在幾何學中有著很高的地位。它們分別是：

（1）化圓為方問題：即求一個正方形的邊長，使其面積與一已知圓的相等；

（2）三等分角問題：即求一角使其角度是一已知角度的三分之一（可用只有一點刻度的直尺與圓規作出）；

（3）倍立方問題：即求一立方體的棱長，使其體積是一已知立方體的二倍（可以用木工的角尺作出）。

在歐幾里得幾何學的限制下，以上三個問題都不可能解決。

正多邊形作法

（1）只使用直尺和圓規，作正五邊形。

（2）只使用直尺和圓規，作正六邊形。

（3）只使用直尺和圓規，作正七邊形——這個看上去非常簡單的題目，曾經使許多著名數學家都束手無策，因為正七邊形已被證明是不能由尺規作出的。

（4）只使用直尺和圓規，作正九邊形，此圖也不能作出來，因為單用直尺和圓規，是不足以把一個角分成三等份的。

問題的解決：高斯大學二年級時得出正十七邊形的尺規作圖法，並給出了可用尺規作圖的正多邊形的充分條件：尺規作圖正多邊形的邊數目必須是2的非負整數次方乘以任意個（可為0個）不同的費馬素數的積，解決了兩千年來懸而未決的難題。1832年，Richelot與Schwendewein給出正257邊形的尺規作法。1900年左右，Hermes花費十年的功夫用尺規作圖作出正65537邊形，他的手稿裝滿一大皮箱，可以說是最複雜的尺規作圖。

四等分圓周

這道題只準許使用圓規，要求參與者將一個已知圓心的圓周4等分。這道題傳言是拿破崙·波拿巴擬出，向全法國數學家挑戰的。這道題已被證明有解。