基本介紹
- 中文名：幾何作圖方法
- 外文名：Geometric mapping methods
在傳統的歐幾里得幾何課程中作圖工具限於套用不帶刻度的直尺和圓規，即通常所謂的“尺規作圖”.在尺規作圖中，如果根據所給條件能夠作出所求圖形，則稱這個問題為作圖可能問題，這時說這個圖形是可作的.如果作不出所求圖形，那么可分為兩種情況:
1.所求的圖形實際上不存在，這時說這個問題是不成立的;
2.所求的圖形是存在的，但只用尺規無法作出(如三等分一個任意角)，這時說這個問題是作圖不可能的.
可用尺規進行的基本操作是:1.過任意兩個點可作一直線.2.直線可以向其兩方任意延長.3.以任一點為圓心，以任意長為半徑，可以作一個圓..對兩個已知的圖形(直線或圓)，如它們相交，可求其交點.5.在已知圖形(直線或圓)上，或已知圖形外，可以任取一些點，但不得取具有某種特殊性質的點.
這些基本操作也稱為作圖公法.實際上，它們與歐幾里得(Euclid )的幾何公理是等價的，前三條身就是幾何公理.所謂幾何作圖就是有限次地進行上述幾種操作得出圖形來.作圖方法的研究工作對數學的發展起了巨大的推動作用.笛卡兒Descartes , R.)創建解析幾何的直接動機之一，就是用代數方法來解決幾何作圖問題.解析幾何的產生對作圖方法有很大的影響:人們發現，作圖公法所限定的幾種作圖基本操作歸根結蒂是為著確定一些點，而通過建立坐標系就可以用代數方法求解，並且能夠解決作圖的可能和不可能的問題.凡用尺規能作出的數都是:“由表示單位長度的1，經過有限次加、減、乘、除以及開平方所得到的實數.”由此立即可知幾何三大作圖不可能問題的不可能性.對這三個問題的研究促進了擴域及超越數理論的發展.作圖不可能問題是人們最先遇到的數學上不可解的問題，它的研究促進了人們對不可解問題的認識，這種新的思想方法對數學發展起了重要的促進作用，例如對用根式求解n次((n}4)代數方程的不可能性的證明促使了群論的產生.以上所述限於尺規作圖，實際上人們也對作圖工具作進一步的限制時的作圖方法進行了研究.例如，只用圓規或只用直尺來作圖.人們已經證明，只用圓規就能完成尺規作圖能完成的一切任務;而只要平面上有一個預先畫好的圓以及它的圓心，只用直尺，也可以作出尺規能作出的所有圖形來.
2.所求的圖形是存在的，但只用尺規無法作出(如三等分一個任意角)，這時說這個問題是作圖不可能的.
可用尺規進行的基本操作是:1.過任意兩個點可作一直線.2.直線可以向其兩方任意延長.3.以任一點為圓心，以任意長為半徑，可以作一個圓..對兩個已知的圖形(直線或圓)，如它們相交，可求其交點.5.在已知圖形(直線或圓)上，或已知圖形外，可以任取一些點，但不得取具有某種特殊性質的點.
這些基本操作也稱為作圖公法.實際上，它們與歐幾里得(Euclid )的幾何公理是等價的，前三條身就是幾何公理.所謂幾何作圖就是有限次地進行上述幾種操作得出圖形來.作圖方法的研究工作對數學的發展起了巨大的推動作用.笛卡兒Descartes , R.)創建解析幾何的直接動機之一，就是用代數方法來解決幾何作圖問題.解析幾何的產生對作圖方法有很大的影響:人們發現，作圖公法所限定的幾種作圖基本操作歸根結蒂是為著確定一些點，而通過建立坐標系就可以用代數方法求解，並且能夠解決作圖的可能和不可能的問題.凡用尺規能作出的數都是:“由表示單位長度的1，經過有限次加、減、乘、除以及開平方所得到的實數.”由此立即可知幾何三大作圖不可能問題的不可能性.對這三個問題的研究促進了擴域及超越數理論的發展.作圖不可能問題是人們最先遇到的數學上不可解的問題，它的研究促進了人們對不可解問題的認識，這種新的思想方法對數學發展起了重要的促進作用，例如對用根式求解n次((n}4)代數方程的不可能性的證明促使了群論的產生.以上所述限於尺規作圖，實際上人們也對作圖工具作進一步的限制時的作圖方法進行了研究.例如，只用圓規或只用直尺來作圖.人們已經證明，只用圓規就能完成尺規作圖能完成的一切任務;而只要平面上有一個預先畫好的圓以及它的圓心，只用直尺，也可以作出尺規能作出的所有圖形來.
