平移法作圖(construction by translation)是解作圖題的一種常用方法，利用平行移位的方法解題作圖。它分為以下兩種類型：一種是平移圖形中的幾何元素，如把一條線段移到一個新的位置並與原位置平行，使它與另一線段發生關係；一種是平移整個圖形。
基本介紹
- 中文名：平移法作圖
- 外文名：construction by translation
- 所屬學科：數學
- 所屬問題：平面幾何(尺規作圖)
- 簡介：利用平行移位的方法解題作圖
基本介紹,平移圖形中的幾何元素,平移整個圖形,舉例分析,
基本介紹
平移圖形中的幾何元素
有些幾何作圖題，需要利用平移將所求作的幾何元素或將已知幾何元素移到適當位置，使條件相對集中，構成新的容易做出的圖形。
平移整個圖形
另有一些作圖題，需要暫時捨棄題中要求的某條件，首先按其他要求條件在適當位置作圖，然後利用平移將所作圖形移到能同時滿足曾暫時捨棄條件的位置。例如，已知∠BAC、線段l與r，求作一⊙O，使圓心在AB上，半徑為r，且在AC上截出的弦等於l。其思路要點是：暫捨棄圓心在AB上這一條件，半徑為r且在AC上截出的弦等於l的⊙O′容易作出(如圖1)，然後將⊙O′沿CA方向平移至⊙O的位置上即為所求作的圓。當r≤l/2或E，F中一點或兩點在CA的延長線上時無解，除此以外恆有解。
圖1舉例分析
【例1】在兩條平行線AB和CD的兩外側有兩定點P、Q，求在AB和CD間作一條線段EF垂直於AB，交AB於E，交CD於F，使PE=QF。
圖2已知AB//CD，在AB和CD的兩外側有兩定點P、Q。
求作 在AB、CD間作一垂直線段EF，使PE= QF。
分析：假定EF已作出，觀察圖2，PE、QF分居在平行線的兩外側，不易發現它們的關係。若想把PE沿EF方向平移EF長度之距離，此時PE落在P'F位置上。於是P'F(代表PE)和QF集中於一處，容易發現點F位置之特點。由於P'F= PE= QF，故知點F距點P'和點Q等遠，且點F應在CD上，所以只要點P'位置定了，點F位置也可隨之確定。
作法：
(1)設AB和CD的距離為d，由P點作AB之垂線PP'且截取PP'= d；
(2)連結P'Q。
(3)作P'Q之垂直平分線l交CD於點F。
(4)由點F作FE⊥CD，交AB於E，則EF就是所求作的線段。
證明：依作法，
，且P'P//EF，所以PP'FE為平行四邊形，有PE= P'F，又因l是P'Q的垂直平分線，所以P'F= QF，所以PE= QF。
討論:由題設可知，PQ必與CD相交。設點P與AB的距離為d1，點Q與CD的距離為d2。
(1)PQ與CD直交，這時P'Q也與CD直交；
1' 當d1=d2時，線段P'Q的垂直平分線l與CD重合。這時，AB和CD的任意一條公垂線EF都符合條件，因此在這種情形下本題有無窮多個解。
2' 當d1≠d2時，線段P'Q的垂直平分線l不與CD重合，而與CD平行，即l與CD沒有交點,這時本題無解。
(2)PQ與CD斜交,這時P'Q也與CD斜交,因此,線段P'Q的垂直平分線l與CD有一個交點F，這時本題有一解。
使用平移法作圖，關鍵在於通過平移，能夠使條件集中或分散。一般地說，與平行線有關的問題，定向定長線段的定位問題，兩圓公切線問題，四邊形問題等，都可優先考慮用平移法。
使用平移法作圖，在作圖分析中應弄清楚平移方向是什麼，平移距離是多少，把什麼圖形平移，等等。
