基本介紹
相關研究,基本介紹,透視對應,射影性質舉例,重要概念,
相關研究
《論圖形的射影性質》(
)法國數學家、力學家龐斯列(Jean Victor Poncelet，1788-1867)著。1822年發表。這是第一本完全致力於射影幾何學的著作。它標誌著現代射影幾何學的開始。龐斯列第一個充分認識到射影幾何學是具有獨特方法和目標的新的數學分支，從而在該著作中對這門學科作了系統處理，對十九世紀數學發展產生了重大影響。
龐斯列曾是法國大數學家蒙日和卡諾(L．N．M．Carnot)的學生，在巴黎綜合工科學校時聽過他們的幾何學講座，是蒙日和卡諾引導了綜合幾何學研究的復興。1812年龐斯列跟隨拿破崙的軍隊遠征俄國，不久便被俘囚於薩拉托夫的監獄中。在獄中，他不藉助於任何參考材料。著手回憶並重新推導了從蒙日等人那裡學來的純粹與解析幾何知識，之後便開始創造出新的結果。這些發現奠定了他關於射影幾何學工作的基礎。1814年回國後，他繼續了他的研究。1820年他向巴黎科學院遞交了題為“論圓錐曲線的射影性質”的論文，其中包含了他的新幾何學思想。龐斯列想以圓錐曲線為例表明幾何學的語言和概念可以通過系統地使用無窮遠元素和虛元素而得到推廣。該論文成為1822年出版的《論圖形的射影性質》一書中的一部分。
在《論圖形的射影性質》中，龐斯列研究了幾何圖形在投影與截影下保持不變的性質，即圖形的射影性質，取得了豐富的成果，奠定了現代射影幾何學的基礎。他通過系統地引入無窮遠元素和虛元，構成了復射影幾何所用的空間。他像德扎格、帕斯卡等人一樣採用了中心投影，即從一個點投影，並把它提高成為研究幾何問題的一種方法。在他的工作中，有三個觀念是主導性的。第一個是透射的圖形，兩個圖形是透射的，如果一個能夠從另一個經過一次投射與截影或一串投射與截影得出。第二個主導觀念就是連續性原理。在該書中他寫道：“如果一個圖形從另一個圖形經過連續的變化得出，而且後者與前者同樣地一般，那么馬上可以斷定，第一個圖形的任何性質第二個圖形也具有。”對此他在本書中作了大膽的套用，證明了許多定理，並用它來討論虛圖形。至於這一原理的真實性，龐斯列承認能夠從代數上證明這原理，但他堅持認為它並不依賴於這樣一個證明。他的第三個核心觀念是關於圓錐曲線的極點和極線的概念，他給出了從極點到極線和從極線到極點的一般表述，並用之作為建立許多定理的方法。至於對偶原理這一射影幾何學的重要原理，龐斯列在研究圓錐曲線的配極的過程中已經充分確定，並且認為配極關係是這一原理成立的重要原因。此外，龐斯列不僅使用了中心射影，也廣泛地利用了其它類型的變換(如雙有理變換等)，取得許多結果。龐斯列的功績以往是被低估了，他的著作所顯示的射影幾何和度量幾何的區別預示了現代結構概念的出現。他的幾何工作是邁向現代幾何的重要的一步。
《論圖形的射影性質》於1865-1866年由龐斯列本人出版了第二版，含兩卷。其中第一卷是該書第一版的重印，但添加了注釋。第二卷收集了龐斯列1822年後的幾何學論文。
基本介紹
透視對應
在引進無窮遠元素後，將一直線上的影消點與另一直線上的無窮遠點建立點的對應，如圖1，直線
上的點
對應直線'上的無窮遠點，上的無窮遠點對應’上的點
，這樣就建立了直線l的點與直線’的點之間的一一對應，這種通過中心投影所建立的兩直線點之間的一一對應叫做二直線之間的透視對應；同樣，在引入無窮遠元素後，也可以通過中心投影建立兩平面的點之間的一一對應，叫做二平面之間的透視對應，它使一平面上的影消線對應另一平面上的無窮遠直線，如圖2，平面
上的直線，對應平面 '上的無窮遠直線。
圖1
圖2
射影性質舉例
我們將圖形經過中心投影后不變的性質(量)叫做圖形的射影性質(射影不變數) 。
不難看出，同素性、結合性都是射影性質，又如二次曲線經過中心投影的象還是二次曲線，所以二次曲線這一概念可以說是射影概念。應該注意，如果圖形的性質經過某些中心投影后不變，而不是在任何中心投影下都不變，這種性質並不是圖形的射影性質。例如一個圓的中心投影的象可能是圓，但不能保證圓的任何中心投影的象都一定是圓，因此曲線為圓這一性質不是射影性質。由於我們可以將二相交直線投影成二平行直線，所以二直線的平行性也不是射影性質。另外，重要的仿射不變數單比也不是射影不變數，對此可由以下例題說明：
圖3
於是
因此說明了單比不是射影不變數。
重要概念
下面引入兩個重要的射影概念。
點列與線束的元素分別為點與直線，顯然點列與線束都是射影概念，點列與線束經中心投影后的象還分別為點列與線束。
