射影變形

射影幾何亦稱投影幾何。幾何學的一個分支。主要研究圖形在射影對應(射影變換)下不變的幾何性質。射影變換是射影幾何中最重要的幾何變換。這種變換的主要特點是保持結合性。

射影變形(projective deformation)是射影曲面論的重要概念之一。富比尼拓廣普通曲面變形到射影曲面論而導入的概念。

基本介紹

• 中文名：射影變形
• 外文名：projective deformation
• 領域：數學
• 學科：射影曲面論
• 引入者：富比尼
• 元素：射影線素

概念

射影變形(projective deformation)是射影曲面論的重要概念之一。富比尼拓廣普通曲面變形到射影曲面論而導入的概念。設曲面S和S′之間存在點對應，且對於S任意點P均可找到直射T，變換P到S′的對應點P′，S上過P的任意曲線Γ變換到Γ-，Γ-和Γ的對應曲線Γ′在點P′構成二階解析接觸，則稱S和S′為互為射影變形的曲面，它們的對應稱為射影變形。兩曲面互為射影變形的充分必要條件是它們的漸近曲線互相對應且在對應點的β，γ分別相等，或者兩曲面在對應點有相同的射影線素。

射影線素

射影線素是射影曲面論的重要概念之一。歐氏線素在射影曲面論的推廣，用交比表達。設u，v是曲面S的參數，x是S的點P(x)的齊次坐標。若ξ=ρ(x x_ux_v)，其中ρ是非零因子，(x x_ux_v)是行列式(X x x_ux_v)關於第一列四個元的代數餘子式。定義分式：

為S的射影線素。這個定義最初由德拉齊尼(Terracini，A.)於1926年給出。若取u，v為漸近參數，則射影線素為：

稱為富比尼線素。

射影微分幾何學

微分幾何學的一個分支，從屬於射影變換群。其思想來源於C.F.克萊因1872年的著名演說“埃朗根綱領”，在那裡將幾何學歸結為可逆變換群的幾何不變數理論加以分類。研究的對象主要是曲線、曲面、共軛網等在射影變換群下的不變數、協變圖形及其性質。19世紀末，法國數學家達布在《曲面通論教程》(1887—1896) 和《正交系與曲線坐標》(1898)中系統介紹了近百年來曲線和曲面微分幾何學方面的成就，其中蘊含了射影微分幾何學的萌芽。同時代的數學家阿爾方也對射影微分幾何做過系統研究。1906年德國—美國數學家維爾欽斯基發表論著《曲線和直紋曲面的射影微分幾何》，將曲線的射影微分幾何理論推廣到曲面上，成為現代射影微分幾何的創始人之一。其後義大利數學家富比尼用一種射影不變的方法獲得“富比尼規範坐標”，詳盡闡述了系統研究曲線和曲面的過程。他與捷克數學家切赫合著的《射影微分幾何》(2卷，1926—1927)與《曲面射影微分幾何引論》(1931)已成為該學科的經典著作。

1937年法國數學家É.嘉當出版《射影聯絡空間理論教程》，創立新的活動標架法，重新建立起射影曲面論，振興了微分幾何學。他引入一般纖維叢理論，構造了仿射、射影及保形的廣義联絡空間，他的外形法為現代高維射影空間共軛網理論提供了依據。此外，義大利數學家邦皮亞尼和中國數學家蘇步青都對射影微分幾何做過系統的研究工作。蘇步青從20世紀30年代末開創並發展起結構式射影微分幾何，用幾何作圖法建立協變的構圖和不變數，特別是用平面曲線在某種奇異點的不變數以表達其他幾何不變數，這是一項具有代表性的顯著成果。他的有關著作有《射影曲線概論》(1954)、《射影曲面概論》(1964)、《射影共軛網概論》(1978)等。

富比尼

義大利數學家。生於威尼斯，卒於美國紐約。早年在比薩高等師範學校攻讀數學。先後在卡塔尼亞、熱那亞和都靈等地的大學任教，1939年移居美國，任普林斯頓高等研究院教授。富比尼是20世紀初義大利數學界的代表人物，其數學研究涉及微分方程、多複變函數論、群論、射影微分幾何學、變分法、積分化簡、機率分析等許多領域。他最早使用微分形式研究射影幾何，是射影微分幾何學的先驅者之一。在群論中，他建立了通過線性群和運動群理論判定連續群的準則。在積分論中，他給出的把高維的勒貝格積分化為累次低維積分的定理(富比尼定理)，至今仍是積分論中最重要的定理之一。他在物理學方面也做出許多貢獻。1919年獲義大利王室授予的獎金。1928—1937年擔任《純粹與套用數學年刊》編輯。其主要著作有《自守函式不連續群論導引》(1908)、《數學分析講義》、《射影微分幾何》(2卷，1926—1927，與切赫(E. Cech，1893—1960)合作)等。

射影幾何

亦稱投影幾何。幾何學的一個分支。主要研究圖形在射影對應(射影變換)下不變的幾何性質。射影變換是射影幾何中最重要的幾何變換。這種變換的主要特點是保持結合性。例如，點與直線及點與平面的結合性等.交比是射影幾何中最基本的不變數，其他不變數都可以用交比表示出來。

射影幾何的思想，特別是其中的透視投影原理，早在古羅馬時代已為畫家所認識和套用;射影幾何的基本不變數——交比，早已為帕普斯(Pappus，(A))所熟知;射影幾何的一些命題也早已為古代幾何學家所得到。然而，射影幾何作為幾何學的一個獨立分支學科卻是在19世紀初期，隨著幾何學的發展以及繪畫與建築的需要而形成和發展起來的。1822年，彭賽列(Poncelet，J.-V.)發表了射影幾何的第一部系統著作《論圖形的射影性質》一書。他通過幾何方法引進無窮遠元素，研究了二次曲線和二次曲面的配極理論，並由此導出一般的對偶原理.稍後，施泰納(Steiner，J.)研究了利用簡單圖形產生較複雜圖形的方法，並於1832年引進了線素二次曲線概念.。1847年，馮·施陶特(von Staudt，K.G.C.)通過幾何作圖來建立直線上點的坐標，進而使交比與射影坐標不依賴於任何度量.此外，他還以精巧的方法給出虛元素的幾何解釋。與此同時，運用解析法研究射影幾何也有了長足的發展.首先是默比烏斯(Mo¨bius，A.F.)創立了一種齊次坐標，揭示了對偶原理與配極之間的關係，並於1827年對交比的概念給出了完善的處理。接著，普呂克(Plücker，J.)引進了另一種齊次坐標，得到了平面上無窮遠線的方程和無窮遠圓點的坐標.他還引入了線坐標的概念，於是從代數觀點自然就得到對偶原理，並得到一般線曲線的概念。在19世紀前半葉的幾何研究中，綜合法與解析法的爭論非常激烈.一些幾何學家堅持運用綜合法，如彭賽列、施泰納等。綜合法也確實有它獨特的優點，它形象鮮明，使有些問題的論證直接而簡潔.由於他們的努力，使綜合射影幾何形成了一個優美的體系.1882年，帕施(Pasch，M.)建立了第一個射影幾何演繹體系.1872年，克萊因(Klein，(C.)F.)利用變換群的觀點把各種幾何學聯繫起來，他在埃爾朗根綱領中提出了這個觀點，並把幾種經典幾何看做是射影幾何的子幾何，使這些幾何之間的關係變得更加明朗。