對偶曲線(dual curve)是研究平面代數曲線的一個重要工具。設C是射影平面中次數m>1的不可約曲線。C的所有非奇異點的切線的全體確定了對偶平面上的一個集合，它的閉包是一條代數曲線C'，稱為C的對偶曲線。
基本介紹
- 中文名：對偶曲線
- 外文名：dual curve
- 領域：數學
- 學科：代數幾何
- 作用：研究平面代數曲線的一個重要工具
- 平面：對偶平面
概念,代數曲線,代數幾何,射影平面,
概念
對偶曲線是研究平面代數曲線的一個重要工具。設C是射影平面中次數m>1的不可約曲線。C的所有非奇異點的切線的全體確定了對偶平面上的一個集合，它的閉包是一條代數曲線C'，稱為C的對偶曲線。C'的對偶曲線就是C。C'的次數m′稱為C的類，它是一個射影不變數，正好等於射影平面上過一個一般位置的點與C相切的直線數。
代數曲線
代數曲線是代數幾何的一個基本概念。一維代數簇稱為代數曲線。任意一條代數曲線都可通過正規化把奇點解消，成為一條光滑曲線。再完備化後就得到一條光滑射影代數曲線。由於光滑射影曲線間的雙有理映射必定是同構映射，因此代數曲線的雙有理分類問題可以歸結為光滑射影代數曲線的雙正則(即同構)分類問題。以下只考慮複數的情形。這時，復光滑射影代數曲線與緊黎曼面之間有一個一一對應的關係。再考慮這個緊黎曼面上的半純函式域，就得到了一個C的超越次數等於1的擴域。反之，從C的一個超越次數等於1的擴域出發，可以定義一條抽象射影代數曲線。這就是著名的“三位一體”：光滑射影代數曲線、緊黎曼面以及複數域上超越次數為1的有限生成擴域實質上是同一個對象的三種不同表現方式.從而代數曲線的最重要的數值不變數——虧格也可用各種不同的方式來定義：它既是一個拓撲不變數，也是一個可由緊黎曼面上的整體全純微分形式空間的維數或以結構層的第一級上同調空間的維數來定義的代數不變數。
黎曼(Riemann，(G.F.)B.)首先考慮了虧格g的所有緊黎曼面的參量空間問題，並發現這個參量空間的維數是3g-3(當g≥2時)，但黎曼未能嚴格證明它的存在性。20世紀中期，由於芒福德(Mumford，D.B.)等人的工作，人們對代數曲線參量空間簇Mg已經有了較深入的了解。芒福德把格羅騰迪克(Grothendieck，A.)的概形理論用到古典的不變數理論，創立了幾何不變數理論，並且，用它證明了Mg的存在性及擬射影性。目前，人們對Mg的結構已有了深入的研究，例如：當g≥23時，Mg是一般型的；當g≤13時，Mg是單有理的。人們猜測，當g<23時，Mg是單直紋的。
代數幾何
研究多項式方程組在仿射或射影空間裡的公共零點集合的幾何特性的數學分支學科。換言之，它是研究代數簇的.代數幾何與許多其他數學分支有著密切的聯繫。通常假設代數簇V中點的坐標在某個固定域k中選取，k稱為V的基域。V為不可約(即V不能分解成兩個比它小的閉代數子簇的並)時，V上所有有理函式(即兩個多項式的商)全體也構成一個域，稱為V的有理函式域，它是k的一個有限生成擴域.通過這樣的一個對應關係，代數幾何可以看成是用幾何的語言和觀點來研究有限生成擴域。
代數幾何的基本問題就是代數簇的分類。包括雙有理分類與雙正則分類(即同構分類)。若一個代數簇V1到另一個代數簇V2的映射誘導了函式域之間的同構，則稱該映射為雙有理映射。設有兩個代數簇V1，V2，若V1中有一個稠密開集同構於V2的一個稠密開集，則稱V1，V2是雙有理等價的。這等價於V1和V2的函式域之間的同構.按這個等價關係對代數簇進行分類就稱為雙有理分類。分類理論是這樣建立的：首先，找出代數簇的雙有理等價類；其次，在這個等價類中找到一個好對象的子集，如非奇異射影簇，對它們進行分類；第三步就是確定一個任意簇與這些好的對象相差多遠。因為任意特徵0的基域上的代數簇都雙有理等價於一個非奇異射影簇，所以為實現這三步，人們往往先找一組與非奇異射影簇對應的整數，稱為它的數值不變數。例如，在射影簇的情形，它的各階上同調空間的維數就都是數值不變數。然後試圖在所有具有相同的數值不變數的代數簇的集合上建立一個自然的代數結構，稱為它們的參量簇，使得當參量簇中的點在某個代數結構中變化時，對應的代數簇也在相應的代數結構中變化.目前，只有代數曲線、一部分代數曲面以及少數特殊的高維代數簇有較完整的分類。
20世紀初期，由於抽象代數方法的引入，抽象域上的代數幾何理論建立起來了。特別是在20世紀50年代，塞爾(Serre，J.P.)把代數簇的理論建立在層的概念上，並建立了凝聚層的上同調理論，這為格羅騰迪克(Grothendieck，A.)隨後建立概形理論奠定了基礎。概形理論的建立使代數幾何的研究進入了一個全新的階段。概形的概念是代數簇的推廣。粗淺地，它允許點的坐標在任意有單位元的交換環中選取，並允許結構層中有冪零元。概形理論把代數幾何和代數數域的算術統一到了一個共同的語言之下，這使得在代數數論的研究中可以套用代數幾何中大量的概念、方法和結果。
20世紀以來，複數域上代數幾何中的超越方法也有重大的進展，例如，德·拉姆(de Rham，G.-W.)的解析上同調理論，霍奇(Hodge，W.V.D.)的調和積分理論的套用，小平邦彥和斯潘塞(Spencer，D.C.)的變形理論以及格里菲思(Griffiths，P.)的一些重要工作。這使得代數幾何的研究可以套用偏微分方程、微分幾何、拓撲學等理論。
射影平面
亦稱二維射影空間。射影幾何研究的基本對象。指二維(平面)射影幾何的全體點的集合。歐氏平面(或仿射平面)添加一條直線(即無窮遠直線)後稱為擴大平面。把擴大平面上的普通元素(點和直線)和無窮遠元素不加區別同等看待，這平面就成為射影平面的一個模型。反過來，若在一個射影平面上任意取定一條直線，把它當做無窮遠直線，並把這直線上的點當做無窮遠點，而將其餘的直線和點都當做有窮直線和有窮點，則該平面就可看做一個歐氏平面(或仿射平面)的擴大平面，即去掉了無窮遠點的全體有窮點的集合是歐氏平面(仿射平面)。射影平面具有與歐氏平面(仿射平面)不同的性質。例如在射影平面上，任何一條直線都不能把射影平面分成兩部分，任何兩條直線都相交，但它們卻不能把射影平面分成四部分。
