單比

單比在數學中有兩個解釋，一個是指算術中的比，指比的前項和後項都只有一個數的比，如，5:2，8:9，是相對於複比而言的。另一個是指仿射幾何中最基本的不變數，亦稱仿射比，又稱簡單比。

基本介紹

• 中文名：單比
• 外文名：simple ratio
• 所屬學科：數學
• 簡介：算術中的比或仿射幾何中的不變數
• 相關概念：複比，交比等

算術中的比

基本介紹

比(ratio)亦稱單比，算術術語，比較兩個同類量之間的一種倍數關係，稱為這兩個同類量的比。在單位相同時，兩個量的比可以用表示這兩個量的數的比來代替。在實際中，只有同類量，且取同單位，才能相比。兩個量相比得到的倍數，稱為比值。兩個數相比，也可以說成是兩個數相除，a與b的比，記為a∶b或a/b，讀作a比b，符號“∶”稱為比號，比號前的數a，稱為比的前項，比號後的數b，稱為比的後項，比的後項不能是零。比的結果就是比值。儘管兩數相比的比值，相除的商和分數的值是相同的數，但比、除法及分數仍是有區別的，比是指兩個量的倍數關係，除法是一種運算，分數是一個數，比的基本性質是：比的前項和後項都擴大或縮小相同的倍數，比值不變，建立比的嚴格理論是歐多克索斯(Eudoxus，(C))，他引入了一個變數的概念，它不是整數，他認為整數是跳動的個體(即離散的)，而量是指線段、角、面積、時間等可以連續變動的東西，他用量這個概念建立了比和比例的理論，這樣就把有公度比和無公度比(比值為無理數)都包括進去了。歐幾里得(Euclid)《幾何原本》中的第五卷《比例論》，被認為是根據歐多克索斯的成果而編寫的，也是歐幾里得幾何的成就之一。

單比與複比

單比是只包含兩項——前項和後項的比：a：b，或寫成。在四項比例式“a：b=c：d”中，等式每邊的比都是單比。

複比是把兩個或多個單比的前項相乘積作前項，所有後項相乘積作後項，所作成的比，稱為原來幾個單比的複比。例如a：b與c：d是兩個單比，ac：bd就是複比。複比的比值，等於幾個單比值的乘積。例如，那么複比。

仿射幾何中的單比

基本概念

單比(simple ratio)亦稱仿射比，又稱簡單比，是仿射幾何中最基本的不變數。若P₁，P₂是有向直線上的兩個定點，P是這直線上的另一點，P分有向線段為兩個有向線段和，則其數量的比

稱為三點P₁，P₂，P的單比，記為(P₁　P₂　P)，即(P₁P₂P)=，其中P₁，P₂稱為基點，P稱為分點。

顯然，當點P在點P₁，P₂之間時，單比(P₁　P₂　P)<0；否則(P₁　P₂　P)>0。

當點P與點P₁重合時，單比(P₁　P₂　P)=0；當點P與點P₂重合時，單比(P₁　P₂　P)不存在；當點P為線段P₁P₂的中點時，單比(P₁　P₂　P)=-1。

如果已知兩點P₁，P₂，且單比(P₁　P₂　P)為定值時，則點P在直線P₁P₂上的位置是被唯一確定的。

定理平行射影(透視仿射對應)保持共線三點的單比不變。

交比

單比是仿射變換的基本不變數，但對於中心射影來說，單比不是不變數，它的基本不變數是交比。

下面介紹共線四點的交比的概念。

定義 四個共線點的交比定義為兩個單比與的比，用符號表示，即

其中叫做基點偶；叫做分點偶。

根據交比的定義有

交比又稱交叉比，複比。