無窮遠元素(element at infinity)亦稱假元素或理想元素，是射影幾何的一個術語，指空間中的無窮遠點、無窮遠直線和無窮遠平面的統稱，平面幾何里的無窮遠元素為無窮遠點和無窮遠直線。
基本介紹
- 中文名：無窮遠元素
- 外文名：element at infinity
- 別稱：假元素或理想元素
- 所屬學科：數學
- 所屬問題：高等幾何(射影幾何)
基本介紹,例題解析,
基本介紹
為了使中心射影成為雙射，我們需要改造直線、平面和空間，要求在改造直線和平面的時候滿足下列三個基本關係：
(1)兩條相異的共面直線確定唯一一個點(交點)。
(2)兩個相異點確定唯一一條直線(連線)。
(3)兩個相異平面確定唯一一條直線(交線)。
我們的做法就是給平行直線添加交點。
約定： (1)在每一條直線上添加唯一個點，此點不是該直線上原有的點，稱為無窮遠點(或理想點)，記作
。在相互平行的直線上添加的無窮遠點相同，不平行的直線上添加的無窮遠點不同。
(2)平面上全體無窮遠點構成一條直線，稱為無窮遠直線(或理想直線)，記作
。
(3)空間中所有無窮遠點構成的集合構成一平面，稱為無窮遠平面(或理想平面)。
增加了無窮遠點的直線叫仿射直線，增加了無窮遠直線的平面叫仿射平面，增加了無窮遠平面的空間叫仿射空間。為區別起見，我們稱仿射空間原有的點為有窮遠點或通常點；把除無窮遠直線外的直線稱為有窮遠直線或通常直線；把除無窮遠平面以外的平面稱為有窮遠平面或通常平面。
在平面上添加無窮遠元素之後，沒有破壞點與直線的關聯關係，同時也使得中心射影成為雙射。中心射影也叫透視對應。
例題解析
例1在仿射空間中，我們有以下命題：
(1)平面上的每一個方向有唯一的無窮遠點。任意一組平行的直線交於同一無窮遠點；交於同一無窮遠點的直線相互平行。
(2)不平行的直線上的無窮遠點不同。
(3)平面上的平行直線交於無窮遠點，不平行的直線交於通常點，因此平面上任意兩條直線交於唯一一點。
(4)直線或者在某平面上，或者與這個平面交於唯一一點。
(5) 一組平行平面上的無窮遠直線是相同的，這條無窮遠直線就是這組平行平面的交線。
(6)平面上每一條直線(無窮遠直線除外)與無窮遠直線有且僅有一個交點，這個交點就是該直線上的無窮遠點。
(7)每一平面上有且僅有一條無窮遠直線。
(8)空間中任意兩張平面有唯一的交線。兩平行平面的唯一交線是無窮遠直線；兩不平行的平面的唯一交線 是通常直線。
