《四階非線性方程的高精度數值解法》是依託華僑大學，由莊清渠擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：四階非線性方程的高精度數值解法
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：莊清渠
- 依託單位：華僑大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本項目研究四階非線性方程的高精度數值求解格式。首先研究帶有弱奇異核積分項的四階積分微分方程的高精度數值求解格式，利用高斯型數值積分公式構造高精度的奇異積分計算公式，再結合譜方法對方程進行離散，然後構造快速疊代算法對離散代數系統進行求解。其次發展四階非線性薛丁格方程的譜與譜元逼近格式，通過構造恰當的基函式，使離散問題所對應的代數系統具有簡潔的表達形式，同時對離散得到的非線性代數系統構造快速的疊代算法進行求解。對構造的逼近格式進行收斂性、穩定性、誤差估計等理論分析。通過課題的研究, 力爭為實際科學計算中相關問題的解決提供行之有效的理論參考及數值求解方法。
結題摘要
科學和工程技術等領域的許多問題都可用四階非線性方程來刻畫。自立項以來，我們對四階非線性方程的高精度數值解法的研究，在四階微分方程、積分微分方程、以及帶弱奇異核積分項四階積分微分方程的高精度數值求解方面獲得了一些重要成果，主要研究結果總結如下： 1.針對兩類帶弱奇異核四階積分微分方程，構造Jacobi數值積分和Legendre數值積分近似替代積分項，較好的避免奇異積分的影響，從而更有效地逼近精確積分，提高了整個問題的逼近精度。 2.針對夾持桿模型以及吊橋模型和鉸鏈梁模型等四階方程，構造了滿足兩類邊界條件的Birkhoff插值基函式，得到具有穩定條件數的代數方程組，進而解得穩定、高精度的數值解。 3.針對五階常微分方程以及二維雙調和方程的譜元逼近，提出Schur補方法進行有效的求解；對帶有3種不同類型邊界條件的二維雙調和特徵問題，構造滿足相應邊界條件的基函式使得離散變分公式所對應的線性系統具有稀疏的係數矩陣，從而能有效求解。 4.針對四階非線性薛丁格方程的高精度數值求解方面也取得了一些重要進展，如分裂多辛緊格式、高階分裂譜逼近格式，部分相關研究成果已經投稿。 通過這些問題的研究，對四階非線性方程的理論和數值計算及相關問題有更加深入的了解，這為四階非線性方程在相關工程領域上的套用打下堅實的基礎。
