方程求根

方程求根,一元非線性函式方程f (x)=0的數值解法,其解x*稱作方程的根,又稱為函式f (x)的零點。

基本介紹

  • 中文名:方程求根
  • 出處:中國大百科全書
  • 釋義:一元非線性函式方程f (x)=0的數值解法
解釋
若:f (x)=a0x n+a1x n−1+…+an−1x+an方程係數ak(0≤k≤n)是已知常數,a0≠0,方程次數n是大於1的整數,則稱為高次代數方程或多項式方程。高次方程求根是一個古老的數學問題,其解法在中國漢代《九章算術》一書中已具雛形,到宋代秦九韶(1247)和元代朱世傑(1303)發展完善,相當於西方的霍納算法(1819),二次方程可用公式求根。三次和四次方程也有求根公式,但較複雜不便於使用。
五次及五次以上的代數方程不存在求根公式。因此,對三次以上的代數方程,通常都用疊代法近似求根。根據代數方程特點發展的求根方法有劈因子法、伯努利方法等。
疊代法是非線性方程求根的主要數值方法,它利用遞推公式構造序列使之逼近方程的根。
牛頓法是最常用的一種疊代法,又稱切線法;它的遞推公式是:xk+1=xk-f (xk)/f ′(xk)(k=0,1,…)當給定初始近似x0後,就可逐次計算x1,x2,…若f (x)在根x*的鄰域內二次可微,且f′(x*)≠0,則當x0與x*充分接近時,牛頓法至少是二階收斂的,當k充分大時,xk就是根x*的足夠精確的近似值。其他求根疊代法還有割線法等。

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