卡爾達諾公式

卡爾達諾公式

卡爾達諾公式(Cardano formula)亦稱卡爾丹公式,是三次方程的求解公式,它給出三次方程x+px+q=0的三個解為x1=u+v,x2=uw+vw,x3=uw+vw。由於一般三次方程y+ay+by+c=0經過未知量的代換y=x-a/3後,可化為形如x+px+q=0的三次方程。因此,運用卡爾達諾公式可解任意復係數的三次方程,此公式實為塔爾塔利亞(TN.artaglia)於1541年首先發現,但未公開發表,卻在允諾保密的央求下告訴了卡爾達諾(G.Cardano),後者於1545年將這一結果發表在自己的著作《大術》里,後人遂稱為卡爾達諾公式。

基本介紹

  • 中文名:卡爾達諾公式
  • 外文名:Cardano formula
  • 所屬學科:數學(高等代數)
  • 別名卡爾丹公式
  • 簡介:三次方程的求解公式
基本介紹,相關介紹,

基本介紹

卡爾達諾公式是一個著名的求根公式,指實係數一元三次方程
的求根公式x=α+β,式中
且αβ=-p/3,此公式也可以套用於復係數三次方程中。

相關介紹

義大利數學家卡爾達諾(G.Cardano)在1545年出版的《大術》一書中,首先發表了上述公式,此公式來自義大利數學家塔爾塔利亞(N.Tartaglia),但卡爾達諾給出了該公式的幾何證明。
當p,q為實數時,稱
為方程(1)的判別式。
當D>0時,方程(1)有三個兩兩不同的實根,稱為不可約情形;
當D=0時,方程(1)有三個實根,當p,q均不為0時,有兩個重根和一個單根;
當D<0時,方程(1)有一個實根與兩個共軛虛根。
卡爾達諾公式表明三次方程有根式解,他的學生費拉里(L.Ferrari)用降階法獲得一元四次方程的根式解法,從而引發了人們對五次以上代數方程的根式解的研究,推動了近世代數學的產生和發展。此外,由於在不可約情形中出現了用虛數表示實根的情形,使人們再次遇到負數開平方,因此促進了對虛數合理性的認識。1572年,義大利數學家邦貝利(Bombelli,R.)在他的《代數》一書中,討論過求解一元三次方程x=15x+4,其三個根為4,
。但套用卡爾達諾公式卻是
邦貝利研究後認為,應將負數的平方根像“普通數”那樣運算。後來,德國數學家萊布尼茨(Leibniz,G.W.)也研究過不可約情形,並且深信:用代數方法解此種情形不可能不用到虛數。這就使人們逐漸認識到負數開平方有一定的客觀基礎和合理性,加快了人們接受虛數的認識進程。法國數學家韋達(F.Viete)在《論方程的識別與訂正》(完成於1591年,出版於1615年)中,利用三角恆等式給出了不可約情形的方程(1)的根為
式中θ滿足
韋達只給出其中一個根。

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