基本介紹
- 中文名：弗朗索瓦·韋達
- 外文名：Franciscus Vieta
- 國籍：法國
- 出生地：普瓦圖
- 出生日期：1540年（庚子年）
- 逝世日期：1603年12月13日
- 職業：數學家
- 主要成就：為近代數學的發展奠定了基礎。
韋達定理
代數學之父 - 代表作品：套用於三角形的數學定律》、《分析方法入門》
人物簡介,著作簡介,其他成就,韋達定理,經典例題,
人物簡介
韋達1540年生於法國的普瓦圖（Poitou），今旺代省的豐特奈 -勒孔特(Fontenay.-le-Comte)。1603年12月13日卒於巴黎。年輕時學習法律並當過律師。後從事政治活動，當過議會的議員。在對西班牙的戰爭中，曾為政府破譯敵軍的密碼。韋達還致力於數學研究，第一個有意識地和系統地使用字母來表示已知數、未知數及其乘冪，帶來了代數學理論研究的重大進步。韋達討論了方程根的各種有理變換，發現了方程根與係數之間的關係（所以人們把敘述一元二次方程根與係數關係的結論稱為“韋達定理”）。
韋達從事數學研究只是出於愛好，然而他卻完成了代數和三角學方面的巨著。他的《套用於三角形的數學定律》（1579年）是韋達最早的數學專著之一，可能是西歐第一部論述6種三角形函式解平面和球面三角形方法的系統著作。他被稱為現代代數符號之父。韋達還專門寫了一篇論文"截角術"，初步討論了正弦，餘弦，正切弦的一般公式，首次把代數變換套用到三角學中。他考慮含有倍角的方程，具體給出了將COS(nx)表示成COS(x)的函式並給出當n≤11等於任意正整數的倍角表達式了。
著作簡介
《分析方法入門》
《分析方法入門》是韋達最重要的代數著作，也是最早的符號代數專著，書中第1章應
用了兩種希臘文獻：帕波斯的《數學文集》第7篇和丟番圖著作中的解題步驟結合起來，認為代數是一種由已知結果求條件的邏輯分析技巧，並自信希臘數學家已經套用了這種分析術，他只不過將這種分析方法重新組織。韋達不滿足於丟番圖對每一問題都用特殊解法的思想，試圖創立一般的符號代數。他引入字母來表示量，用輔音字母B，C，D等表示已知量，用元音字母A（後來用過N）等表示未知量x，而用A quadratus,A cubus 表示 x2、x3 ，並將這種代數稱為本“類的運算”以此區別於用來確定數目的“數的運算”。當韋達提出類的運算與數的運算的區別時，就已規定了代數與算術的分界。這樣，代數就成為研究一般的類和方程的學問，這種革新被認為是數學史上的重要進步，它為代數學的發展開闢了道路，因此韋達被西方稱為"代數學之父"。
一元二次方程
一元二次方程《分析五章》
1593年，韋達又出版了另一部代數學專著—《分析五篇》（5卷，約1591年完成）；《論方程的識別與訂正》是韋達逝世後由他的朋友A.安德森在巴黎出版的，但早在1591年業已完成。其中得到一系列有關方程變換的公式，給出了G.卡爾達諾三次方程和L.費拉里四次方程解法改進後的求解公式。
《幾何補篇》
1593年他的《幾何補篇》（Supplementum geometriae）在圖爾出版了，其中給尺規作圖問題所涉及的一些代數方程知識。
其他成就
此外，韋達最早明確給出有關圓周率π值的無窮運算式,而且創造了一套10進分數表示法，促進了記數法的改革。之後，韋達用代數方法解決幾何問題的思想由笛卡兒繼承，發展成為解析幾何學。韋達從某個方面講，又是幾何學方面的權威，他通過393416個邊的多邊形計算出圓周率，精確到小數點後9位，在相當長的時間裡處於世界領先地位。
韋達還專門寫了一篇論文"截角術"，初步討論了正弦，餘弦，正切弦的一般公式，首次把代數變換套用到三角學中。他考慮含有倍角的方程，具體給出了將COS(nx)表示成COS(x)的函式並給出當n≤11等於任意正整數的倍角表達式。
韋達還探討了代數方程數值解的問題，1600年以《冪的數值解法》為題出版。
韋達定理
韋達定理(Vieta's Theorem）的內容
（根與係數的關係）
一元二次方程ax^2+bx+c=0 (a≠0 且b^2-4ac≥0)中
設兩個實數根為X1和X2
則X1+X2= -b/a
X1*X2=c/a
用韋達定理判斷方程的根
若b^2-4ac>0 則方程有兩個不相等的實數根
若b^2-4ac=0 則方程有兩個相等的實數根
若b^2-4ac<0 則方程沒有實數解
韋達定理的證明
一元二次方程求根公式為：
當方程有實數根時
x=(-b±√b^2-4ac)/2a
則x1=(-b+√b^2-4ac)/2a，x2=(-b-√b^2-4ac)/2a
x1+x2=（-b+√b^2-4ac/2a）+（-b-√b^2-4ac/2a）
x1+x2=-b/a
x1*x2=（-b+√b^2-4ac/2a）*（-b-√b^2-4ac/2a）
x1*x2=c/a
韋達定理
判別式、判別式與根的個數關係、判別式與根、韋達定理及其逆定理。
韋達定理的推廣
韋達定理在更高次方程中也是可以使用的。一般的，對一個一元n次方程∑AiX^i=0
它的根記作X1,X2…,Xn
我們有
∑Xi=(-1)^1*A(n-1)/A(n)
∑XiXj=(-1)^2*A(n-2)/A(n)
…
ΠXi=(-1)^n*A(0)/A(n)
其中∑是求和，Π是求積。
如果一元二次方程
在複數集中的根是，那么
由代數基本定理可推得：任何一元 n 次方程
在複數集中必有根。因此，該方程的左端可以在複數範圍內分解成一次因式的乘積：
其中是該方程的個根。兩端比較係數即得韋達定理。
法國數學家韋達最早發現代數方程的根與係數之間有這種關係，因此，人們把這個關係稱為韋達定理。歷史是有趣的，韋達的16世紀就得出這個定理，證明這個定理要依靠代數基本定理，而代數基本定理卻是在1799年才由高斯作出第一個實質性的論性。
韋達定理在方程論中有著廣泛的套用。
韋達定理推廣的證明
設x1，x2，……，xn是一元n次方程∑AiX^i=0的n個解。
則有：An(x-x1)(x-x2)……(x-xn)=0
所以：An(x-x1)(x-x2)……(x-xn)=∑AiX^i （在打開(x-x1)(x-x2)……(x-xn)時最好用乘法原理）
通過係數對比可得：
A（n-1）=-An(∑xi)
A（n-2）=An(∑xixj)
…
A0==(-1)^n*An*ΠXi
所以：∑Xi=(-1)^1*A(n-1)/A(n)
∑XiXj=(-1)^2*A(n-2)/A(n)
…
ΠXi=(-1)^n*A(0)/A(n)
其中∑是求和，Π是求積。
經典例題
例1 已知p+q=198，求方程x^2+px+q=0的整數根．
(94祖沖之杯數學邀請賽試題)
解：設方程的兩整數根為x1、x2，不妨設x1≤x2．由韋達定理，得
x1+x2=－p，x1x2=q．
於是x1·x2－(x1+x2)=p+q=198，
即x1·x2－x1－x2+1=199．
∴(x1－1)·(x2－1)=199．
注意到（x1－1）、（x2－1）均為整數，
解得x1=2，x2=200；x1=－198，x2=0．
例2 已知關於x的方程x^2－(12－m)x+m－1=0的兩個根都是正整數，求m的值．
解：設方程的兩個正整數根為x1、x2，且不妨設x1≤x2．由韋達定理得
x1+x2=12－m，x1x2=m－1．
於是x1x2+x1+x2=11，
即(x1+1)(x2+1)=12．
∵x1、x2為正整數，
解得x1=1，x2=5；x1=2，x2=3．
故有m=6或7．
例3 求實數k，使得方程k(x^2)+(k+1)x+(k－1)=0的根都是整數．
解：若k=0，得x=1，即k=0符合要求．
若k≠0，設二次方程的兩個整數根為x1、x2，且X1≤X2，由韋達定理得
∴x1x2－x1－x2=2，
(x1－1)(x2－1)=3．
因為x1－1、x2－1均為整數，
所以X1=2，X2=4；X1=—2，X2=0.
所以k=1,或k=-1/7
例4 已知二次函式y=－x^2+px+q的圖像與x軸交於(α，0)、(β，0)兩點，且α>1>β，求證：p+q>1．
(97四川省國中數學競賽試題)
證明：由題意，可知方程－x2+px+q=0的兩根為α、β．由韋達定理得
α+β=p，αβ=－q．
於是p+q=α+β－αβ，
=－(αβ－α－β+1)+1
=－(α－1)(β－1)+1>1(因α>1>β)．
