四平方和定理

四平方和定理說明每個正整數均可表示為4個整數平方和。它是費馬多邊形數定理華林問題的特例。

基本介紹

  • 中文名:四平方和定理
  • 外文名:Lagrange's Four-square Theorem
  • 別稱:拉格朗日四平方和定理
  • 提出者歐拉
  • 套用學科數學
  • 適用領域範圍數論
發展簡史,驗證推導,

發展簡史

1743年,瑞士數學家歐拉發現了一個著名的恆等式
根據上述恆等式或四元數的概念可知如果正整數
能表示為4個整數的平方和,則其乘積
也能表示為4個整數的平方和。於是為證明原命題只需證明每個素數可以表示成4個整數的平方和即可。
1751年,歐拉又得到了另一個一般的結果。即對任意素數同餘方程
必有一組整數解
滿足
(引理一)
至此,證明四平方和定理所需的全部引理已經全部證明完畢。此後,拉格朗日歐拉分別在1770年和1773年作出最後的證明。

驗證推導

根據上面的四平方和恆等式及算術基本定理,可知只需證明質數可以表示成四個整數的平方和即可。
,故只需證明奇質數可以表示成四個整數的平方和。
根據引理一,奇質數
必有正倍數可以表示成四個整數的平方和。在這些倍數中,必存在一個最小的。設該數為
。又從引理一可知
證明m0不會是偶數
是偶數,且
。由奇偶性可得知必有兩個數或四個數的奇偶性相同。不失一般性設
的奇偶性相同,
的奇偶性相同,則
均為偶數,於是得到:
,與
是使得的假設
可以表示成四個整數的平方和的最小正整數矛盾。
證明 m0 = 1
下面用反證法證明
首先
不可整除
最大公因子,否則
可整除
,則得
的因子,但
為質數,矛盾。 故存在不全為零,且絕對值小於
(注意
是奇數在此的重要性)的整數
使得
可得
,其中
正整數且小於
下面證明
可以表示成四個整數的平方和,從而推翻假設。 用四平方和恆等式令
,可知
的倍數(由
的構造方式和同餘關係可得),令
,則
矛盾。
引理一的證明
為奇素數,將和為
的剩餘兩個一組的分開,可得出
組,分別為
二次剩餘
個,分別為
.
是模
的二次剩餘,選取
使得
,則
,定理得證。
不屬於模
的二次剩餘,則剩下
組,分別為
.,而模
的二次剩餘仍有
個,由於
,根據抽屜原理,存在
使

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