拉格朗日四平方和定理

四平方和定理說明每個正整數均可表示為4個整數的平方和。它是費馬多邊形數定理和華林問題的特例。

基本內容

注意有些整數不可表示為3個整數的平方和，例如7。

歷史

1743年，瑞士數學家歐拉發現了一個著名的恆等式：

根據上述歐拉恆等式或四元數的概念可知如果正整數和能表示為4個整數的平方和，則其乘積也能表示為4個整數的平方和。於是為證明原命題只需證明每個素數可以表示成4個整數的平方和即可。

1751年，歐拉又得到了另一個一般的結果。即對任意奇素數，同餘方程必有一組整數解滿足（引理）。

至此，證明四平方和定理所需的全部引理已經全部證明完畢。此後，拉格朗日和歐拉分別在1770年和1773年作出最後的證明。

證明

根據上面的四平方和恆等式及算術基本定理，可知只需證明質數可以表示成四個整數的平方和即可。

，因此只需證明奇質數可以表示成四個整數的平方和。

顯然，奇質數p必有正倍數可以表示成四個整數的平方和（如4p^2)。在這些倍數中，必存在一個最小的。設該數為。又從引理可知。

證明m0不會是偶數

設是偶數，且。由奇偶性可得知必有兩個數或四個數的奇偶性相同。不失一般性設的奇偶性相同，的奇偶性相同，均為偶數，可得出公式：

是正整數使得假設可以表示成四個整數的平方和不符。

證明m0=1

現在用反證法證明。設。

不可整除xj的最大公因子，否m0^2可整除m0p，則得m0是p的因子，但1 < m0 < p且p為質數，矛盾。 故存在不全為零、絕對值小m0/2（注意m0是奇數在此的重要性）整數的y1,y2,y3,y4使得 yyj= xj(mod m0)。

0<∑yi^2<4(m0/2)^2=m0^2∑yi^2≡∑xi^2≡0(modm0)可得∑yi^2=m0m1，其中m0是正整數且小於m0。

下面證明m1p可以表示成四個整數的平方和，從而推翻假設。 用四平方和恆等式令∑zi^2=∑yi^2*∑xi^2，可知zj是m0的倍數，令zj= m0tj,

∑zi^2=∑yi^2*∑xi^2m0^2∑ti^2=m0m1m0p∑ti^2=m1p<m0p矛盾。

引理的證明

將和為的剩餘系兩個一組的分開，可得出組，分別為。

將模的二次剩餘有個，分別為。

若是模的二次剩餘，選取使得則，定理得證。

若不屬於模的二次剩餘，則剩下組，分別為，而模p的二次剩餘仍有(p+1)/2個，由於(p+1)/2>(p-1)/2 ，根據抽屜原理，存在