布魯克-賴瑟-喬拉定理

布魯克-賴瑟-喬拉定理(Bruck-Ryser-Chowla theorem)是反映對稱設計存在的必要條件的一個事實,若(v，k，λ)-SBIBD存在，記n=k-λ，則當v為偶數時，n為平方數;當v為奇數時，不定方程z²=nx²+(-1)^(v-1)/2λy²有不全為零的整數解x，y，z，利用這個定理可以確定某些對稱設計的不存在性，例如，因為22是偶數，而n=5不是平方數，所以(22，7，2)-SBIBD不存在。另外，這個定理給出的條件並不是充分的。例如，最近證明了10階射影平面不存在，即(111，11，1)-SBIBD不存在。

基本介紹

• 中文名：布魯克-賴瑟-喬拉定理
• 外文名：Bruck-Ryser-Chowla theorem
• 所屬學科：數學（組合學）
• 簡稱：BRC定理
• 簡介：反映對稱設計存在的必要條件

基本介紹

布魯克-賴瑟-喬拉定理(BRC定理) 令k-λ=n>o，若SB(k，λ；v)存在。則

(i) 當v為偶數時，n為平方數；

(ii) 當v為奇數時。不定方程

有不全為零的整數解x,y,z。

相關定理

由定理1和定理2可證明布魯克-賴瑟-喬拉定理，接下來的兩引理也可證出布魯克-賴瑟-喬拉定理。以下所有定理的證明以及布魯克-賴瑟-喬拉定理的證明請參考相應文獻。

關於B(k，λ；v)存在性的必要條件，在對稱設計的情形，由於b=v，因此化為

即

對稱性的要求是一個很強的限制條件。因此對於很多滿足條件(1)的參數v,k,λ,SB(k，λ；v)並不存在。下述定理即說明了這點。

定理1 設，令,若SB(k，λ；v)存在。則

由定理1可知。對任一給定的正整數n及所有滿足條件的正整數對k,λ。使SB(k，λ；v)存在的正整數v只有有限多個。

本節主要目的在證明關於對稱設計存在性的一個重要定理。即著名的Bruck-Ryser-Chowla定理(BRC定理)，為此還要用到數論中的下述結果。

定理2 (Lagrange四平方和定理)任一正整數n都能表成4個整數的平方和：

由以上引理可證明布魯克-賴瑟-喬拉定理，下面兩引理也可證出布魯克-賴瑟-喬拉定理。

引理1 設n為正整數，則

下面引理即著名的Witt消去定理。

引理2設A與B為有理數域Q上兩個n×n非奇異對稱矩陣，c∈Q且c≠0，若

則 。

布魯克-賴瑟-喬拉定理的特例

關於Legendre方程存在非平凡整數解的條件，我們有下述經典結果。

定理3 Legendre方程ax²+by²=cz²存在非平凡整數解的充分必要條件是下述三個同餘式都有解：

下面給出BRC定理當λ=1時的一個特例。此時定理的形式簡潔,套用起來也比較方便。

定理3 設或且存在，則n的無平方因子部分不存在形如4t+3的素因子。

證 顯然為奇數，又n≡1或2(mod 4),因此也是奇數。從而由BRC定理，從的存在性推出不定方程有不全為零的整數解，此方程為時的Legendre方程，由定理3。同餘方程有解。從而對n的無平方因子部分的任一素因子p,同餘方程有解，因此必有。即得結論。