嚴格單調函式

增函式和減函式統稱為單調函式，嚴格增函式和嚴格減函式統稱為嚴格單調函式。

基本介紹

• 中文名：嚴格單調函式
• 外文名：strictly monotonic function

定義

設 為定義在 上的函式.。 若對於任何 ，當 時，總有

（i） ，則稱 為 上的增函式，特別當成立嚴格不等式 時，稱 為 上的嚴格增函式；

（ii） ，則稱 為 上的減函式，特別當成立嚴格不等式 時，稱 為 上的嚴格減函式；

增函式和減函式統稱為單調函式，嚴格增函式和嚴格減函式統稱為嚴格單調函式。

性質

嚴格單調函式的圖像與任意平行於 軸的直線至多有一個交點，這一特性保證了它必定具有反函式。

定理

定理 1

設 ， 為嚴格增（減）函式，則 必有反函式 ，且 在其定義域 上也是嚴格增（減）函式。

定理 2

設在區間 上可導，則 在上遞增（減）的充要條件是

定理 3

若函式 在 上可導，則 在 上嚴格遞增（遞減）的充要條件是：

（i）對一切 ，有 ；

（ii）在 的任何子區間上

推論 1

設函式 在區間 上可微，若 ，則 在 上嚴格遞增（嚴格遞減）。

注

若 在 上（嚴格）遞增（減），且在點 右連續，則在上亦為（嚴格）遞增（減），對右端點可類似討論。