最大虧格(maximum genus)是圖的一個組合不變數。圖G所能嵌入而形成地圖的曲面中，具有最大虧格的(不)可定向曲面的虧格稱為圖G的(不)可定向的最大虧格。圖G所能嵌入而形成地圖的曲面中，具有最小虧格的(不)可定向曲面的虧格稱為圖G的(不)可定向最小虧格。G的最小虧格也稱為G的虧格。
基本介紹
- 中文名：最大虧格
- 外文名：maximum genus
- 領域：數學
- 學科：圖論
- 性質：組合不變數
- 相應虧格：最小虧格
概念,虧格,圖論,定向曲線,
概念
最大虧格(maximum genus)是圖的一個組合不變數。圖G所能嵌入而形成地圖的曲面中，具有最大虧格的(不)可定向曲面的虧格稱為圖G的(不)可定向的最大虧格。圖G所能嵌入而形成地圖的曲面中，具有最小虧格的(不)可定向曲面的虧格稱為圖G的(不)可定向最小虧格。G的最小虧格也稱為G的虧格。對圖G的任何一個在某曲面S上的嵌入，若s為不可定向的，則其最大虧格不可能超過：
虧格
虧格是代數幾何和代數拓撲中最基本的概念之一。若曲面中最多可畫出n條閉合曲線同時不將曲面分開，則稱該曲面虧格為n。以實的閉曲面為例，虧格g就是曲面上洞眼的個數。
連線的，可定向的表面的虧格是一個整數，它表示沿著不相交的閉合簡單曲線的最大切割次數，而不會導致曲面斷開。 或者，可以通過關於閉合表面的關係X=2-2g來定義歐拉特徵X，其中g是虧格。 對於b邊界分量的曲面，方程式為X=2-2g-b。按照外行人士的說法，它是一個物體的“孔”數量（“孔”在圓環孔的意義上解釋;空心球體在這個意義上被認為是零孔）。 一個圓環有一個洞，球體為0，概述所示的綠色表面有2個孔。
圖論
組合學的一個分支。它所研究的是一個集合連同其上的一個二元關係所形成的模型，稱之為圖。歷史上最早以這種抽象的圖的模型研究問題的是歐拉(Euler，L.)，他於1736年，以這種抽象的模型解決了哥尼斯堡七橋問題，並且發現了一個圖存在歐拉環遊的條件。此外，歐拉對圖論的貢獻還有：第一次引進了哈密頓圈；注意到多面體的頂點數、棱數和面數之間存在一個簡單的關係。他所解決的騎士在棋盤上的旅行路線問題就是討論哈密頓圈的存在。這些足以使他成為圖論之鼻祖。可惜的是在中國文化發展的浩瀚文獻中除了幾何圖形之外竟至今還沒有發現在20世紀之前有關這種抽象的圖的蛛絲馬跡。
圖論的早期發展多起因於數學遊戲.歐拉之後半個世紀，高斯(Gauss，C.F.)提出棋盤上的8後問題，實際上相當在一圖上求一個最大獨立集。他還研究過平面上的閉曲線的相交問題。第一次引出一個序列的交圖並且提出僅用交圖之結構性質即可確定一個序列是否對應於一個平面閉曲線交點形成的序列的一個猜想。19世紀中葉，在利斯廷(Listing，J.B.)的文章中出現了迷宮的遊戲。其後，塔里(Tarry，G.)所提供的方法實際上就是人們今天所說的深探法和追蹤法。英國數學家柯克曼(Kirkman，T.P.)以他解決的15女生問題而著稱。實際上，這個問題可以轉化為確定一個圖的色數的問題。1852年，格思里(Guthrie，F.)提出四色問題。40年後，希伍德(Heawood，P.J.)又提出一般的地圖著色問題。1880年泰特(Tait，P.G.)就注意到了3正則圖的1因子分解。1891年，佩特森(Petersen，J.)證明了3正則圖存在一個1因子，從而，真正開始了圖的對集、因子以及因子分解的理性發展.直到1947年，塔特(Tutte，W.T.)才建立了圖的因子分解理論的成熟基礎。
另一方面，從19世紀中葉起，首先是德國物理學家基爾霍夫(Kirchhoff，G.R.)從電網路的研究中發現圖中的圈可以用基本圈表示，並且得到了基本圈的數目與圖的節點數和邊數的線性關係。接著，凱萊(Cayley，A.)第一次使引進樹，並且研究了各種樹的計數，他在這方面的工作一直影響到1935年波利亞(Polya，G.)關於一般圖的計數理論的建立，可惜的是，凱萊關於樹的計數的成果開始並未在他的故鄉英國引起注意，卻很快在德國產生了影響.由於那時布朗(Brown，A.C.)引進了原子的圖形表示，所以這就使得樹的計數可以直接套用到確定同分異構的碳水化合物的工作，這就是化學中套用圖論的開端。1878年，西爾維斯特(Sylvester，J.J.)在他的學術文章中第一次用現代意義下“圖”這個術語。
20世紀初，開始跨入平面圖的理論。雖然，若爾當(Jordan，M.E.C.)首先意識到平面上不自交的閉曲線將平面分劃為內、外部兩個區域，但是，直到1905年，才由維布倫(Veblen，O.)給出第一個正確的證明。20世紀30年代初，庫拉托夫斯基(Kuratowski，K.)發表了第一篇判定一個圖是否為可平面圖的文章。其後不久，惠特尼(Whitney，H.)的一系列有關圖論的理論結果大部分是對於可平面圖的，特別是他提出代數對偶的概念解決了判定圖的平面性問題。接著，麥克萊恩(MacLane，S.)、吳文俊、塔特等都曾相繼在這方面建立了他們各自的理論.在20世紀初，伯克霍夫(Birkhoff，G.D.)第一次引進圖的色多項式的概念並對此做了系統的研究，開闢了圖論中一個重要新課題.近半個世紀之後，塔特發展到范色多項式並且揭示了它與圖的內在結構性質的關係，而這種關係在其後20餘年瓊斯(Jones，V.F.R.)發現的在3維空間中扭結的新的拓撲不變數——瓊斯多項式中竟得到再現.
然而，不管怎樣，塔特等人於1940年所發表的關於拼方的文章，創立了電網路上的一種數學理論，解決了純數學的一個難題，打開了現代圖論研究的序幕。這篇文章不僅解決了拚方的問題，而且引出了一系列重要的圖論問題，例如，圖的連通性、定向、對稱性以及還用到了平面性與對偶性等，這些至今在圖論的研究中仍很活躍。尤其是他們所揭示的方法還深刻地影響到網路流的理論、曲面嵌入的理論，並促進了集以及因子分解的理論、著色理論，以至擬陣論與組合幾何的形成與發展。
圖論在近半個世紀以來的發展是空前的.除上面提及的一些重要方面外，還出現了極圖理論、隨機圖論、代數圖論、拓撲圖論等新的分支。同時，也出現了各種統一性的理論研究，如超圖、擬陣以至於組合幾何，其發展更是日新月異。圖論還廣泛而且愈來愈深入地滲透和套用到其他科學中去。除原來在物理學和化學中的套用又得到廣泛和深入的發展之外，還深入到了生物學和生物工程以及經濟和社會科學的各領域。尤其值得注意的是，隨著電子技術和現代計算機的發展，提出了層出不窮的新的數學問題，其中，很多問題與圖論有密切的關係，對於它們的深入研究將會形成新的理論分支。例如，算法及其複雜性的理論和組合計算幾何的出現與發展等，就是直接的產物。在圖論近50年來的成果中，四色問題的計算機驗證、希伍德地圖著色問題的解決以及塔特多項式的出現等，也是對整個數學領域的重要貢獻。
定向曲線
亦稱有向曲線。指規定了方向的曲線。對曲線Γ：x=φ(t)，t∈[a，b]可以按參數增加(或減少)規定Γ的方向，即規定t12(或t21)時Γ上的點φ(t1)在點φ(t2)的前面.在前一情形，稱點φ(a)為Γ的始點，φ(b)為終點，由φ(a)到φ(b)的方向是正向；在後一情形則反之，閉曲線的始點與它的終點重合。曲線只有兩個方向，若取定其中之一為正向，則另一就是負向。正(負)向曲線常以Γ(Γ)表示.設φ，ψ是曲線Γ的等價參數表示，即存在嚴格單調連續函式f，使ψ=φ°f，則當f嚴格增時稱f保持定向，這時Γ用φ，ψ表示的始點與終點一致。當f嚴格減時稱f反轉定向。對平面簡單閉曲線，通常按下列方法規定其正、負向：設曲線Γ在xy平面上，z軸與x，y軸形成右手坐標系，構想人站在xy平面上，抬頭的方向與z軸正向相同，若人沿Γ環行時Γ圍成的區域總在左手邊，則稱環行方向是正向，否則是負向.簡單地說，在右手坐標系中，反時針方向為正向。關於曲面或平面區域的邊界曲線的定向參見“雙側曲面”。
