單純同調序列

單純同調序列(simplicial homology sequence)是同調群所具有的一種性質。復形偶(K，L)與K和L的各種同調關係表現為它們的同調群組成的一個正合的序列，即單純同調序列，它在單純同調論中有很多套用。

單純同調群是一個重要的拓撲不變數，它也是同倫型不變數。復形K的鏈群、閉鏈群和邊緣鏈群與多面體|K|的單純剖分有關，因此它們不可能是拓撲不變數。然而閉鏈群關於邊緣鏈群的商群Zq(K)/Bq(K)是與剖分無關的，稱這個商群為K的q維單純同調群，簡稱q維同調群，記為Hq(K)。

基本介紹

• 中文名：單純同調序列
• 外文名：simplicial homology sequence
• 領域：數學
• 對象：同調群
• 條件：復形偶
• 學科：群論

概念

同調群所具有的一種性質。復形偶(K，L)與K和L的各種同調關係表現為它們的同調群組成的一個正合的序列，即單純同調序列，它在單純同調論中有很多套用。設(K，L)是復形偶，其中K是n維復形，定義三種同態(為方便省去下標q)：

1.包含映射i：|L|→|K|誘導出同態

2.包含映射j：(|K|，)→(|K|，|L|)誘導出同態j_*：H_q(K)→H_q(K，L)。

3.聯繫同態_*：H_q(K，L)→H_q-1(L)，其定義為，設z'=z+C_q(L)∈Z_q(K，L)，其中z∈C_q(K)，∂z∈C_q-1(L)，z'的相對同調類記為[z']，z∈Z_q-1(L)，z在H_q-1(L)中的同調類記為[∂z]，若

則_∂*是一個同態，稱為(K，L)的同調聯繫同態，簡稱聯繫同態。

同調群與同態的序列：

稱為復形偶(K，L)的(單純)同調序列(或稱下同調序列)。它的重要特性是復形偶(K，L)的同調序列是正合的序列。類似可建立復形偶(K，L)的上同調序列，它也是正合的序列。

群

群是一種只有一個運算的、比較簡單的代數結構；是可用來建立許多其他代數系統的一種基本結構。

設G為一個非空集合，a、b、c為它的任意元素。如果對G所定義的一種代數運算“·”(稱為“乘法”，運算結果稱為“乘積”)滿足：

(1)封閉性，a·b∈G;

(2)結合律，即(a·b)c = a·(b·c);

(3)對G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得a·x= b，y·a=b，則稱G對於所定義的運算“·”構成一個群。例如，所有不等於零的實數，關於通常的乘法構成一個群;時針轉動(關於模12加法)，構成一個群。

滿足交換律的群，稱為交換群。

群是數學最重要的概念之一，已滲透到現代數學的所有分支及其他學科中。凡是涉及對稱，就存在群。例如，可以用研究圖形在變換群下保持不變的性質，來定義各種幾何學，即利用變換群對幾何學進行分類。可以說，不了解群，就不可能理解現代數學。

1770年，拉格朗日在討論代數方程根之間的置換時，首先引入群的概念，而它的名稱，是伽羅華在1830年首先提出的。

交換群

交換群是指其運算適合交換律的群，或稱阿貝爾群。挪威數學家阿貝爾在研究高次方程的根式求解時，除了五次方程以外，他討論了更廣一類的方程，現稱之為阿貝爾方程。其全部根都是其中一個根的有理函式，設x1是n次阿貝爾方程的一個根，其全部根則為，其中Qi(i=1，…，n-1)是有理函式，並且對於任意的1≤i≤j≤ n，有Qi(Qj(x1))=Qj(Qi(x1))。後人發現，阿貝爾方程是具有交換律的伽羅瓦群的方程。為了紀念阿貝爾，後人稱交換群為阿貝爾群。

交換群是一般群論中的一個獨特分支。在拓撲學和代數學中常常構造一些交換群，作為討論問題的工具。例如，拓撲學中的基本群、同調群，代數學中的布饒爾群等等。交換群論與代數拓撲學、模論、同調代數、環論等有著密切的聯繫。

單純同調群

單純同調群是一個重要的拓撲不變數，它也是同倫型不變數。復形K的鏈群、閉鏈群和邊緣鏈群與多面體|K|的單純剖分有關，因此它們不可能是拓撲不變數。然而閉鏈群關於邊緣鏈群的商群Z_q(K)/B_q(K)是與剖分無關的，稱這個商群為K的q維單純同調群，簡稱q維同調群，記為H_q(K)。同調群是交換群.當q<0或q>dim K時，按照鏈群推廣到所有整數維數的規定，有H_q(K)=0.同調群的重要性在於H_q(K)是多面體|K|的同倫型不變數，更是拓撲不變數。它有很多重要套用。同調群中的元素是閉鏈群中的元素按邊緣鏈群的陪集分解的等價類。精確地描述如下：設z和z′為兩個q維閉鏈，若z-z′∈B_q(K)，則稱它們是同調的，記為z～z′.若z為邊緣鏈，即z為B_q(K)的元素，則稱在K上z同調於0或稱z是K上的零調鏈，記為在K上z～0。這種同調關係是Z_q(K)上一個等價關係，按同調關係分成的等價類稱為同調類，並且用[z]表示閉鏈z所屬的同調類。