合數(數字分類基礎概念)

合數指自然數中除了能被1和本身整除外，還能被其他數（0除外）整除的數。與之相對的是質數，而1既不屬於質數也不屬於合數。最小的合數是4。其中，完全數與相親數是以它為基礎的。

基本介紹

• 中文名：合數
• 外文名：Composite number
• 表達式：（2+Na)*(2+Nb)（Na,Nb為自然數）
• 套用學科：數學
• 適用領域範圍：(威爾遜定理)
• 適用領域範圍：算術基本定理質因數
• 性質：所有大於2的偶數都是合數
• 表達式提出者：Mi.F.U

定義

合數指自然數中除了能被1和本身整除外，還能被其他數（0除外）整除的數。

性質

• 所有大於2的偶數都是合數。
• 所有大於5的奇數中，個位為5的都是合數。
• 除0以外，所有個位為0的自然數都是合數。
• 所有個位為4，6，8的自然數都是合數。
• 最小的（偶）合數為4，最小的奇合數為9。
• 每一個合數都可以以唯一形式被寫成質數的乘積，即分解質因數。(算術基本定理)
• 對任一大於5的合數(威爾遜定理):

類型

合數的一種方法為計算其質因數的個數。一個有兩個質因數的合數稱為半質數，有三個質因數的合數則稱為楔形數。在一些的套用中，亦可以將合數分為有奇數的質因數的合數及有偶數的質因數的合數。對於後者， （其中μ為默比烏斯函式且''x''為質因數個數的一半），而前者則為

注意，對於質數，此函式會傳回 -1，且 。而對於有一個或多個重複質因數的數字''n''， 。

另一種分類合數的方法為計算其因數的個數。所有的合數都至少有三個因數。一質數的平方數，其因數有 。一數若有著比它小的整數都還多的因數，則稱此數為高合成數。另外，完全平方數的因數個數為奇數個，而其他的合數則皆為偶數個。

合數可分為奇合數和偶合數，也能基本合數（能被2或3整除的），分陰性合數（6N-1）和陽性合數（6N+1），還能分雙因子合數和多因子合數。

相關

只有1和它本身兩個因數的自然數，叫質數（或稱素數）。（如：由2÷1=2，2÷2=1，可知2的因數只有1和它本身2這兩個因數，所以2就是質數。與之相對立的是合數：“除了1和它本身兩個因數外，還有其它因數的數，叫合數。”如：4÷1=4，4÷2=2，4÷4=1，很顯然，4的因數除了1和它本身4這兩個因數以外，還有因數2，所以4是合數。）

100以內的質數有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，一共有25個。

質數的個數是無窮的。歐幾里得的《幾何原本》中的證明使用了證明常用的方法：反證法。具體證明如下：假設質數只有有限的n個，從小到大依次排列為p₁，p₂，……，p_n，設N=p₁×p₂×……×p_n，那么，N+1是素數或者不是素數。

• 如果N+1為素數，則N+1要大於p₁，p₂，……，p_n，所以它不在那些假設的素數集合中。
• 如果N+1為合數，因為任何一個合數都可以分解為幾個素數的積；而N和N+1的最大公約數是1，所以N+1不可能被p₁，p₂，……，p_n整除，所以該合數分解得到的素因數肯定不在假設的素數集合中。

因此無論該數是素數還是合數，都意味著在假設的有限個素數之外還存在著其他素數。所以原先的假設不成立。也就是說，素數有無窮多個。

其他數學家給出了一些不同的證明。歐拉利用黎曼函式證明了全部素數的倒數之和是發散的，恩斯特·庫默的證明更為簡潔，Hillel Furstenberg則用拓撲學加以證明。

任何一個大於1的自然數N，都可以唯一分解成有限個質數的乘積，這裡P₁<P₂<...<P_n是質數，其諸方冪a_i是正整數。

這樣的分解稱為N的標準分解式。

算術基本定理的內容由兩部分構成：分解的存在性、分解的唯一性（即若不考慮排列的順序，正整數分解為素數乘積的方式是唯一的）。

算術基本定理是初等數論中一個基本的定理，也是許多其他定理的邏輯支撐點和出發點。

此定理可推廣至更一般的交換代數和代數數論。高斯證明復整數環Z[i]也有唯一分解定理。它也誘導了諸如唯一分解整環，歐幾里得整環等等概念，更一般的還有戴德金理想分解定理。

上下素性判定法

命題 1對於B=36N+1 形數而言。

若不定方程（3N）^2+N-（B-1）/36=W^2 有整數解，

則 6（3N-W）+1 是小因子數；6（3N+W）+1 是大因子數。

若不定方程 （3N）^2-N-（B-1）/36=W^2 有整數解，

則 6（3N-W）-1 是小因子數；6（3N+W）-1 是大因子數。

兩式都無解，是素數。

命題 2對於B=36N+7 形數而言。

若不定方 （3N）^2+4N-（B-7）/36=W^2+W 有整數解，

則 6（3N-W）+1 是小因子數，6（3N+W+1）+1 是大因子數。

若不定方程 （3N+2）^2+2N+2-（B+29）/36=W^2+W 有整數解，

則 6（3N+2-W）-1 是小因子數，6（3N+W+3）-1 是大因子數。

兩式都無解，是素數。

命題 3對於B=36N+13 形數而言。

若不定方程 （3N+1）^2+N-（B-13）/36=W^2 有整數解，

則 6（3N+1-W）+1 是小因子數，6（3N+1+W）+1是大因子數。

若不定方程 （3N+2）^2-N-（B+23）/36=W2 有整數解，

則 6（3N+2-W）-1 是小因子數，6（3N+2+W）-1是大因子數。

兩式都無解，是素數。

命題 4對於B=36N+19 形數而言。

若不定方程（3N+1）^2+4N+1-（B-19）/36=W^2 +W 有整數解，

則 6（3N+1-W）+1 是小因子數；6（3N+2+W）+1 是大因子數。

若不定方程 （3N+1）^2+2N+1-（B+17）/36=W^2 +W 有整數解，

則 6（3N+1-W）-1 是小因子數；6（3N+2+W）-1 是大因子數。

兩式都無解，是素數。

命題 5對於B=36N+25 形數而言。

若不定方 （3N+2）^2+N-（B-25）/36=W^2有整數解，

則 6（3N+2-W）+1 是小因子數，6（3N+2+W）+1 是大因子數。

若不定方程 （3N+1）^2-N-（B+11）/36=W^2有整數解，

則 6（3N+1-W）-1 是小因子數，6（3N+1+W）-1 是大因子數。

兩式都無解，是素數。

命題 6對於B=36N+31 形數而言。

若不定方程 （3N+2）^2+4N+2-（B-31）/36=W^2 +W 有整數解，

則 6（3N+2-W）+1 是小因子數，6（3N+3+W）+1是大因子數。

若不定方程 （3N+1）^2-4N-1-（B+5）/36=W^2+W有整數解，

則 6（3N-W）-1 是小因子數，6（3N+1+W）-1是大因子數。

兩式都無解，是素數。

命題 7對於B=36N-1 形數而言。

若不定方程（3N）^2-N+（B+1）/36=W^2 有整數解，

則 6（3N-W）+1 是小因子數；6（3N+W）-1 是大因子數。

若不定方程 （3N）^2+N+（B+1）/36=W^2 有整數解，

則 6（W-3N）-1 是小因子數；6（W+3N）+1 是大因子數。

兩式都無解，是素數。

命題 8對於B=36N+5 形數而言。

若不定方 （3N）^2+2N+（B-5）/36=W^2+W 有整數解，

則 6（W-3N）+1 是小因子數，6（W+3N+1）-1 是大因子數。

若不定方程 （3N+2）^2+4N+2+（B+31）/36=W^2+W 有整數解，

則 6（W-3N-2）-1 是小因子數，6（W+3N+3）+1 是大因子數。

兩式都無解，是素數。

命題 9對於B=36N+11 形數而言。

若不定方程 （3N+1）^2-N+（B-11）/36=W^2 有整數解，

則 6（W-3N-1）+1 是小因子數，6（W+3N+1）-1是大因子數。

若不定方程 （3N+2）^2+N+(B+25）/36=W2 有整數解，

則 6(W-3N-2）-1 是小因子數，6（W+3N+2）+1是大因子數。

兩式都無解，是素數。

命題 10對於B=36N+17 形數而言。

若不定方程（3N+1）^2+2N+1+（B-17）/36=W^2 +W 有整數解，

則 6（W-3N-1）+1 是小因子數；6（W+3N+2）-1 是大因子數。

若不定方程 （3N+1）^2+4N+1+（B+19）/36=W^2 +W 有整數解，

則 6（W-3N-1）-1 是小因子數；6（W+3N+2）+1 是大因子數。

兩式都無解，是素數。

命題 11對於B=36N+23 形數而言。

若不定方 （3N+2）^2-N+（B-23）/36=W^2有整數解，

則 6（W-3N-2）+1 是小因子數，6（W+3N+2）+1 是大因子數。

若不定方程 （3N+1）^2+N+（B+13）/36=W^2有整數解，

則 6（W-3N-1）-1 是小因子數，6（W+3N+1）+1 是大因子數。

兩式都無解，是素數。

命題 12對於B=36N+29 形數而言。

若不定方程 （3N+2）^2+2N+2+（B-29）/36=W^2 +W 有整數解，

則 6（W-3N-2）+1 是小因子數，6（W+3N+3）-1是大因子數。

若不定方程 （3N）^2-4N+（B+7）/36=W^2+W有整數解，

則 6（W-3N）-1 是小因子數，6（W+3N+1）+1是大因子數。

兩式都無解，是素數。