默比烏斯函式

默比烏斯函式，也稱為莫比烏斯函式、繆比烏斯函式，數論函式，由德國數學家和天文學家默比烏斯(August Ferdinand Möbius ,1790–1868)提出。梅滕斯(Mertens)首先使用μ(n)作為莫比烏斯函式的記號，故也被稱為梅滕斯函式。默比烏斯函式在數論中有著廣泛套用。

基本介紹

• 中文名：默比烏斯函式
• 外文名：Mo&4&bius function
• 領域：數理科學
• 別名：莫比烏斯函式；繆比烏斯函式

定義

默比烏斯函式或繆比烏斯函式是指以下的函式：

	若 ；
	若 無平方數因數，且 ；
	若 有大於 的平方數因數。

μ(n)的首25個值（OEIS中的數列A008683）：1, −1, −1, 0, −1, 1, −1, 0, 0, 1, −1, 0, −1, 1, 1, 0, −1, 0, −1, 0, 1, 1, −1, 0, 0, ...

圖1.μ的首50個值

μ(n) ——默比烏斯函式，關於非平方數的質因子數目。

莫比烏斯函式完整定義的通俗表達：

1）莫比烏斯函式μ(n)的定義域是N；

2）μ(1)=1；

3）當n存在平方因子時，μ(n)=0；

4）當n是素數或奇數個不同素數之積時，μ(n)=-1；

5）當n是偶數個不同素數之積時，μ(n)=1。

性質

性質1

莫比烏斯函式是一個數論函式，它是一個積性函式。

證明：

①當 n=1時顯然；

②當n 0時，將n分解可以得到 ；

在n的所有因子中， 值不為零的只有所有質因子次數都為1的因子，其中質因數個數為r個的因子有 個

那么顯然有：

性質2

對任意正整數n有：

證明：

只需要令 ，代入莫比烏斯反演的公式即可

與其他函式的關係

1.梅滕斯函式

莫比烏斯函式的求和函式，被稱為梅滕斯函式，

2.生成函式

莫比烏斯函式有多個生成函式，其中一個與黎曼的ζ(s)有關：

3.無窮級函式

以下是關於莫比烏斯函式的一些無窮級數：

1）

2）

3）

相關知識

1. 默比烏斯變換；
2. 梅滕斯函式；
3. 默比烏斯反演。