反射隨機微分方程遍歷理論及相關問題的研究

《反射隨機微分方程遍歷理論及相關問題的研究》是依託北京郵電大學，由楊娟擔任項目負責人的數學天元基金項目。

基本介紹

• 中文名：反射隨機微分方程遍歷理論及相關問題的研究
• 項目類別：數學天元基金項目
• 項目負責人：楊娟
• 依託單位：北京郵電大學

項目摘要

本項目主要研究反射的隨機微分方程解的一些重要性質。研究內容如下：..考慮帶奇異項的雙邊反射非線性隨機偏微分方程。討論解的遍歷性，驗證中偏差原理。對於反射隨機微分方程，目前沒有關於中偏差的討論，本項目需要找到合適的方法處理反射項。..同時，考慮退化噪聲驅動的攝動的Skorohod方程和攝動的隨機反射擴散過程。先討論一維的情形，試利用Malliavin分析工具處理攝動項和反射項，證明Levy噪聲驅動的這一類過程密度的存在性和正則性。然後討論高維退化噪聲的情形，有技巧的定義攝動項，在滿足適當的Hormander條件時，證明密度的存在和正則性。

結題摘要

隨機微分方程有效地連結著數學領域中許多分支，並在數學及其它眾多領域有廣泛的套用。我們主要關注隨機微分方程理論中解的一些重要的性質，特別是解的長時間行為和解的密度正則性這類熱點問題。 根據研究計畫，我們深入討論了隨機偏微分方程解遍歷性，包括帶奇異項的雙邊反射隨機偏微分方程接的不變測定的存在唯一性、一類隨機偏微分方程的中心極限定理和中偏差原理。中篇差的估計不僅顯示收斂速度，而且是構造漸進置信區間的一個有效方法。 同時，本項目還考慮了具有一般形式的高維反射隨機微分方程，這類方程包含攝動的隨機反射擴散方程。我們利用Malliavin分析工具證明了這類方程解的密度的存在和正則性。對於反射理論，有許多基礎性的問題還不清楚，還處於研究的初級階段，因此，對於帶反射的隨機偏微分方程解的密度的研究具有一定的理論意義。