博雷爾集

在數學中，一個博雷爾集是指在一個指定的拓撲空間中，可由其開集（或者等價地，可由其閉集）的可數次並運算、交運算和（或）差運算得到的一個集合。博雷爾集是由埃米爾·博雷爾的名字命名的。

對於一個拓撲空間X，其所有博雷爾集的全體構成一個σ-代數，稱為博雷爾代數或者博雷爾σ-代數。拓撲空間X上的博雷爾代數是X上包含其所有開集（或者等價地，所有閉集）的最小的σ-代數。

博雷爾集在測度論中有著重要的意義，因為任何空間上的開集（或者閉集）上定義的測度，必然可以將定義延拓到空間所有的博雷爾集上。定義在博雷爾集上的測度被稱為博雷爾測度。博雷爾集和相關的博雷爾分層在描述集合論中也起著基礎性的作用。

在某些語境下，博雷爾集被定義為是由拓撲空間中的緊集而不是開集生成的。兩個定義在很多良態的空間中是等價的，包括所有σ-緊的豪斯多夫空間，但是在具有病態性質的空間中兩者可能不同。

基本介紹

• 中文名：博雷爾集
• 外文名：borel set
• 套用學科：數學
• 所屬領域：測度論等
• 相關術語：博雷爾測度
• 相關定義：拓撲空間中緊集而不是開集生成的

博雷爾代數

當X是一個度量空間時，博雷爾代數可以用如下生成的方法描述。

對於X的一族子集T（即X的冪集P(X)的任何子集），令

• T_σ為T中元素的可數並的全體
  
• T_δ為T中元素的可數交的全體
  
• T_δσ=(T_δ)_σ.
  

現在利用超限歸納法定義如下的序列G，其中m是一個序數：

• 對於初始的情況，定義
  G= X的所有開子集全體。
  
• 如果i不是極限序數，那么i是i-1的後繼序數。令
  G= [G]_δσ
  
• 如果i是極限序數，令
  

我們現在可以說博雷爾代數是G，其中ω₁是第一不可數序數，即勢為ℵ₁的序數集。這意味著博雷爾代數可以通過開集全體的疊代運算

至第一不可數序而生成。

為了證明這一點，首先注意到度量空間中的任何開集都是一列遞增緊集的並。特別地，易知對於任何極限序數m，集合的差運算將G映射到自身；而且，當m是不可數的極限序數時，G在可數並運算下是封閉的。

注意到對於每一個博雷爾集B，存在一個可數序數α_B使得B可以通過α_B多次疊代後得到。但是隨著B取遍所有博雷爾集，α_B也會相應地取遍所有可數序數，故而要得到所有博雷爾集所需的最靠前的序數是ω₁，即第一不可數序數。

例子

一個重要的例子，尤其是對於機率論而言，是實數集上的博雷爾代數。它是用來定義博雷爾測度的代數。對於機率空間上一個給定的實隨機變數，其機率分布按照定義，也是一個博雷爾代數上的測度。

實直線R上的博雷爾代數是包含所有區間的最小σ-代數。

在利用超限歸納法構造時，可以證明在每一步中，集合的數量至多是連續統的冪。所有博雷爾集的總數不會多於。

非博雷爾集

下面描述了盧津給出的一個實數集上的子集不是博雷爾集的例子。與之形成對比的是，不可測集的例子是無法給出的，不過其存在性是可以證明的。

每一個無理數都有一個唯一的連分數表示

其中是一個整數，其餘的都是正整數。令A為對應序列的無理數組成的集合，而且其中的元素滿足下列性質：存在一個無限子序列使得序列中每一個元素都是下一個元素的因子。這個集合A不是博雷爾集。事實上，這個集合是一個解析集，進一步地，在解析集全體構成的類中是完備的。